2019届广东省湛江市高三调研测试题数学(理科)试题(word版)

【湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）第1页共12页】湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）本试卷共6页，共23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合220Axxx，}0log|{2xxB，则ABA．)2,1(B．)1,0(C．)2,(D．)1,1(2．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数1zi的点是A．EB．FC．GD．H3．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为A．10B．40C．30D．204．已知非零向量m、n满足|n||4m|，且m2(mn)，则m、n的夹角为A．3B．2C．32D．65小学4500人初中3500人高中2000人FZEGHOxy11【湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）第2页共12页】5．曲线2xxy在点)1,1(处的切线方程为A．12xyB．12xyC．22xyD．32xy6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为A．53B．54C．158D．2637．函数|sinyxx｜在,的图像大致为A．B．C．D．8．正三棱锥的正视图如图所示，则侧视图的面积为A．212B．312C．26D．369．设0.52a，3logb，4log2c，则A．bacB．bcaC．abcD．acb开始输出n结束105n?701m，212m，153m321432mmmn105nn是否65xyo22xyoxyo2xyo2【湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）第3页共12页】10．已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB｜为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A．2B．3C．2D．311．设数列}{na满足51a，且对任意整数n，总有44)3)(3(1nnnaaa成立，则数列}{na的前2018项的和为A．840B．835C．830D．82512．设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点M在C上，5MF，若以MF为直径的圆过点)2,0(，则C的焦点到准线距离为A．4或8B．2或4C．2或8D．4或16第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知数列{}na是等差数列（公差0d），2a，4a，8a成等比数列，则该等比数列的公比为______．14．设x、y满足不等式组10401≥≤≥xyxyy，则yxz2的最大值为．15.511()(2)xxxx的展开式中，常数项为______．16.点A、B、C、D在同一个球的球面上，3ACBCAB，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且2223bcbca，32ca（Ⅰ）求Csin的值；（Ⅱ）若6a，求△ABC的面积.【湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）第4页共12页】18．如图，在四棱锥ABCDP中，△PAB、△PBC、△ACD均为等边三角形，BCAB．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线CD与平面PBC所成角的正弦值．19．电动车企业生产每台车的利润与车首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种型号电动车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种型号电动车中各随机抽取50台，统计数据如下：型号甲乙首次出现故障时间x(年)0x≤11x≤2x20x≤11x≤2x2数量(台)23451445每台利润(元)100200300150180290将频率视为概率．（Ⅰ）从该厂生产的甲、乙两种型号电动车中随机各抽取一台，求至少有一台首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）若该厂生产的电动车均能售出，记生产一台甲型号的车利润为1X，生产一台乙型号的车利润为2X，若该厂预计今后这两种型号电动车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种型号．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种型号的电动车？并说明理由．PABCD【湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）第5页共12页】20.（本小题满分12分）已知斜率为k的直线l与椭圆22198xyC：交于A、B两点，线段AB的中点为(1,)Mt(0)t.（Ⅰ）证明：13k；（Ⅱ）设F为C的右焦点，Q为C上的一点，且FBFAFQ0，证明：FA，FQ，FB成等差数列.21.（本小题满分12分）函数2lnfxxxax（a为常数）有两个极值点1x，2x（12xx）．（Ⅰ）证明：021a；（Ⅱ）证明：2112fxfx．【湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）第6页共12页】请考生在第22、23二题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C的参数方程为sincos3yx（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为24)4sin(．（Ⅰ）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（Ⅱ）设P为曲线1C上的动点，求点P到2C上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数1|72|)(xxf.（Ⅰ）求不等式()≤fxx的解集；（Ⅱ）若存在x使不等式()2|1|≤fxxa成立，求实数a的取值范围.湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A2.D3.B4.C5.A6.A7.A8.D9.A10.B11.B12.C11.解：∵数列{an}满足a1=5，且对任意整数n，总有（an+1+3）（an+3）=4an+4成立，【湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）第7页共12页】∴8（a2+3）=24，解得a2=0，3（a3+3）=4，解得34548,(3)333aa，解得a4=﹣5，﹣2（a5+3）=﹣16，解得a5=5．∴数列{an}是以4为周期的数列，且123453aaaa，∴20185504()508353S．12.解：MF的中点记为N，则2522)25(2ppxxxFMN，即N到y轴的距离为|MF｜的一半。所以圆与y轴的切点），（20H，xNH//轴，)2,25(N，)4,25(pM，代入pxy22得82016102pppp或．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.2；14.7；15.40；16.16289．16.提示：O为球心，O为ABC的中心，易知当OD过球心O时四面体ABCD的体积最大．334△ABCS，133△DABCABCVSDO，求得4OD连结OC并延长交AB于E，2360sinACCE，1OC，由222OCOOOC，ODOC得：1)4(22ODOD，所以817OD，所以表面积16289)817(42S．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意得22233cos222bcabcAbcbc，………………………………………………1分∵A0∴6A.………………………………………………………………………………2分由32ca及正弦定理可得：3sin2sinCA，∴21sinsin33CA.………………………………………………………………4分【湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）第8页共12页】（Ⅱ）由32ca知ca，所以C为锐角，2122cos1sin193CC，…………………………………………5分所以sinsin[()]sin()BACAC………………………………………6分CACAsincoscossin…………………………………………7分6223………………………………………………………8分由6a及32ca可得出4c，…………………………………………………9分所以11322sin642342226SacB.…………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：设AC与BD交于点O，连结PO，……………1分因为CBAB,CDAD，BD为公共边，所以△ABD≌△CBD，所以∠ABD=∠CBD，又CBAB，所以AC⊥BD，……………………2分且O为AC中点．又PA=PC，所以PO⊥AC，又AB⊥BC，所以OA=OB=OC，结合PA=PB，可得Rt△POA≌Rt△POB，所以∠POB=∠POA=90°，即PO⊥OB，又OA∩OB=O，故PO⊥平面ABCD，…………………………………4分又BD平面ABCD，所以PO⊥BD．又PO∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．………………6分（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，不妨设OA=1，易得OP=1，OD=3，则P（0，0，1），B（﹣1，0，0），C（0，1，0），D（3，0，0），所以)1,1,0(PC，)0,1,1(BC，)0,1,3(CD，………………………8分设平面PBC的法向量为),,(zyxn，则00yxBCnzyPCn，取)1,1,1(n，设直线CD与平面PBC所成角为θ，则6333213|||||||,cos|sinCDnCDnCDn．…………………10分PABCDOPOABCDzxy【湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）第9页共12页】所以CD与平面PBC所成角的正弦值为633．………………………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）设“甲、乙两型号的车至少有一台首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则)(AP45451915050100.………………………………………………………3分（Ⅱ）依题意得，1X的分布列为1X100200300P125350910………………………………………………7分2X的分布列为2X150180290P5015045045…………………………………………9分∴)(1XE＝286109300503200251100，………………………………10分4.27850452905