【状元之路】2015届高考数学二轮(文理通用)专题知识突破课件：1-5-3(专题五-解析几何)

第一部分高考专题串串讲第一版块专题知识突破专题五解析几何考情分析真题体验第三讲圆锥曲线的综合问题知识方法考点串联高频考点聚焦突破考情分析·真题体验明确备考方向实战高考真题考情剖析1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．2．求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中.真题感悟1.(2014·湖北卷)设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根为0，－tanθ(tanθ≠0)，则过A，B两点的直线方程为y＝－xtanθ，双曲线x2cos2θ－y2sin2θ＝1的渐近线为y＝±xtanθ，所以直线y＝－xtanθ与双曲线没有公共点．故选A.答案A2．(2014·辽宁卷)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43解析由题意可知准线方程x＝－p2＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.由已知易得过点A与抛物线y2＝8x相切的直线斜率存在，设为k，且k0，则可得切线方程为y－3＝k(x＋2)．联立方程y－3＝kx＋2，y2＝8x消去x得，ky2－8y＋24＋16k＝0.(*)由相切得Δ＝64－4k(24＋16k)＝0，解得k＝12或k＝－2(舍去)，代入(*)解得y＝8，把y＝8代入y2＝8x，得x＝8，即切点B的坐标为(8,8)，又焦点F为(2,0)，故直线BF的斜率为43.答案D3．(2013·江西卷)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－3解析∵S△AOB＝12|OA||OB|sin∠AOB＝12sin∠AOB≤12.当∠AOB＝π2时，S△AOB面积最大．此时O到AB的距离d＝22.设AB方程为y＝k(x－2)(k0)，即kx－y－2k＝0.由d＝|2k|k2＋1＝22得k＝－33.(也可k＝－tan∠OPH＝－33)．答案B4．(2013·全国大纲卷)椭圆C：x24＋y23＝1的左、右顶点分别A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.12，34B.38，34C.12，1D.34，1解析由题意可得A1(－2,0)，A2(2,0)，当PA2的斜率为－2时，直线PA2的方程式为y＝－2(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得19x2－64x＋52＝0，解得x＝2或x＝2619.由点P在椭圆上得点P2619，2419，此时直线PA1的斜率k＝38.同理，当直线PA2的斜率为－1时，直线PA2方程为y＝－(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝27.由点P在椭圆上得点P27，127，此时直线PA1的斜率k＝34.数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是38，34.答案B5．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点D满足|CD→|＝1，则|OA→＋OB→＋OD→|的最大值是________．解析动点D的轨迹为以C为圆心的单位圆，则设为(3＋cosθ，sinθ)(θ∈[0,2π))，则|OA→＋OB→＋OD→|＝3＋cosθ－12＋sinθ＋32，因为cosθ＋3sinθ的最大值为2，所以|OA→＋OB→＋OD→|的最大值为12＝23.答案23知识方法·考点串联连点串线成面构建知识体系1．求轨迹方程的常用方法(1)直接法：①建系设动点．②列几何等式．③坐标代入得方程．④化简方程．⑤除去不符合题意的点．⑥作答．(2)待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数．(3)代入法：当所求动点随已知曲线上动点的运动而运动时用此法．代入法的步骤：①设出两动点坐标(x，y)，(x0，y0)．②结合已知找出x，y与x0，y0的关系，并用x，y表示x0，y0.③将x0，y0代入它满足的曲线方程，得到x，y的关系式即为所求．(4)定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线的类型，进而求得曲线的方程．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2；|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．3．定点与定值问题定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．4．解决最值、范围问题的方法解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数或建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．高频考点·聚焦突破热点题型剖析构建方法体系考点一轨迹问题【例1】(2014·广东卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．课堂笔记(1)c＝5，e＝ca＝5a＝53，∴a＝3，b2＝a2－c2＝9－5＝4，∴椭圆C的标准方程为：x29＋y24＝1.(2)若一切线垂直于x轴，则另一切线垂直于y轴，则这样的点P共4个，它们的坐标分别为(－3，±2)，(3，±2)．若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝k(x－x0)＋y0，将之代入椭圆方程x29＋y24＝1中并整理得：(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，依题意，Δ＝0，即(18k)2(y0－kx0)2－36[(y0－kx0)2－4](9k2＋4)＝0，即4(y0－kx0)2－4(9k2＋4)＝0，∴(x20－9)k2－2x0y0k＋y20－4＝0，∵两切线相互垂直，∴k1k2＝－1，即y20－4x20－9＝－1，∴x20＋y20＝13，显然(－3，±2)，(3，±2)这四点也满足以上方程，∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝13.[方法规律](1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解，否则可考虑直接法或参数法．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，即应注意字母的取值范围.对点训练1.已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1解析因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1消去y，得a24＋b2x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为32a22a24＋b2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a2＝18，选择D.答案D2．如图所示，在直角坐标系中，已知△PAB的周长为8，且点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)．(1)试求顶点P的轨迹C1的方程；(2)若动点C(x1，y1)在轨迹C1上，试求动点Qx13，y122的轨迹C2的方程．解(1)由题意，可得顶点P满足|PA|＋|PB|＝6，结合椭圆的定义，可知顶点P的轨迹C1是以A，B为焦点的椭圆，且椭圆的半焦距长c＝1，长半轴长a＝3，则b2＝a2－c2＝8.故轨迹C1的方程为x29＋y28＝1.(2)已知点C(x1，y1)在曲线C1上，故x219＋y218＝1.又x13＝x，y122＝y，得x1＝3x，y1＝22y.代入x219＋y218＝1，得x2＋y2＝1，所以动点Qx13，y122的轨迹C2的方程为x2＋y2＝1.考点二定点、定值问题【例2】已知双曲线M：y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e＝233，且S△ABF＝1－32.抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F.(1)求双曲线M和抛物线N的方程；(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，试说明理由．课堂笔记(1)在双曲线中，c＝a2＋b2，由e＝233，得a2＋b2a＝233，解得a＝3b，故c＝2b.所以S△ABF＝12(c－a)×b＝12(2b－3b)×b＝1－32，解得b＝1.所以a＝3，c＝2.所以双曲线M的方程为y23－x2＝1，其上焦点为F(0,2)．所以抛物线N的方程为x2＝8y.(2)由(1)知抛物线N的方程为y＝18x2，故y′＝14x，抛物线的准线为y＝－2.设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝18x20，且直线l的方程为y－18x20＝14x0(x－x0)，即y＝14x0x－18x20.由y＝14x0x－18x20，y＝－2，得x＝x20－162x0，y＝－2.所以Qx20－162x0，－2.假设存在点R(0，y1)，使得以PQ为直径的圆恒过该点，也就是RP→·RQ→＝0对满足y0＝18x20(x0≠0)的x0，y0恒成立．由于RP→＝(x0，y0－y1)，RQ→＝x20－162x0，－2－y1，由RP→·RQ→＝0，得x0·x20－162x0＋(y0－y1)(－2－y1)＝0，整理得x20－162－2y0－y0y1＋2y1＋y21＝0，即(y21＋2y1－8)＋(2－y1)y0＝0，(*)由于(*)式对满足y0＝18x20(x0≠0)的x0，y0恒成立，所以2－y1＝0，y21＋2y1－8＝0，解得y1＝2.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点R(0,2)．[方法规律]定点问题的求解，关键在于根据已知条件准确建立直线方程中相关参数之间的关系式，然后根据直线系方程的特征确定定值．解决此类问题时一定要注意特殊直线的决定性作用，如斜率不存在的直线.对点训练3.(2014·江西卷)如图，已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA.(O为坐标原点)(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32相交于点N.证明：当点P