噶米常微分方程自学练习题

常微分方程自学习题及答案一填空题:1一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线.2二阶线性齐次微分方程的两个解y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3方程0'2''yyy的基本解组是_________.4一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5方程21ydxdy的常数解是________.6方程0')('')(xqxtpxt一个非零解为x1(t),经过变换_______7若4(t)是线性方程组XtAX)('的基解矩阵,则此方程组的任一解4(t)=___________.8一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.9满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.11一阶线性方程)()('xqyxpy有积分因子().12求解方程yxdxdy/的解是().13已知(0)()3222dyxyxdxyxaxy为恰当方程,则a=____________.140)0(22yyxdxdy,1:xR,1y由存在唯一性定理其解的存在区间是().15方程0652ydxdydxdy的通解是().16方程534yxydxdy的阶数为_______________.17若向量函数)()();();(321xxxxn在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w(x)=____________.18若P(X)是方程组)(xAdxdy的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g1(t),；第二类边界条件)(),0(tutxu，；第三类边界条件F)(),0(),0(0tututxuk，T)(),(),(1tvtLutLxuk，其中k0,k1,T都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。20、在偏微分方程组中，如果方程个数未知函数的个数，则方程组为不定的。反之，如果方程的个数未知函数的个数，则方程组称为超定的。（选填“多于”、“少于”或“等于”）21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式：yuyxexuyxduyxcyxuyxbuyxayx),(),(),(),(2),(22222),(),(yxguyxf，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y),d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是（x,y）的连续可微函数，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同时为0。方程中yxuyxcyxuyxbuyxa22222),(),(2),(称为方程的2阶主部。若其2阶主部的系数a,b,c作成的判别式△=b2-ac在区域中的某点（x0,y0）大于零，则称方程在点（x0,y0）是型的；如果△=0，则称方程在点（x0,y0）是型的；如果△0，则称方程在点（x0,y0）是型的。（选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”）二单项选择:1方程yxdxdy31满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().(A)上半平面(B)xoy平面(C)下半平面(D)除y轴外的全平面2方程1ydxdy()奇解.(A)有一个(B)有两个(C)无(D)有无数个3在下列函数中是微分方程0''yy的解的函数是().(A)1y(B)xy(C)xysin(D)xey4方程xeyyx''的一个特解*y形如().(A)baex(B)bxaxex(C)cbxaex(D)cbxaxex5)(yf连续可微是保证方程)(yfdxdy解存在且唯一的()条件．（A）必要（B）充分(C)充分必要(D)必要非充分6二阶线性非齐次微分方程的所有解().(A)构成一个2维线性空间(B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间(D)构成一个无限维线性空间7方程323ydxdy过点(0,0)有().(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解8初值问题10'x01x,11)0(x在区间,t上的解是().(A)ttut)((B)teut)((C)etut)((D)eeut)(9方程0cos2xyxdxdy是().(A)一阶非线性方程(B)一阶线性方程（C)超越方程(D)二阶线性方程10方程032dxdydxdy的通解是().(A)xeCC321(B)xeCxC321(C)xeCC321(D)xeC3211方程0442ydxdydxdy的一个基本解组是().(A)xex2,(B)xe2,1(C)xex22,(D)xxxee22,12若y1和y2是方程0)()(2yxqdxdyxpdxdy的两个解,则2211yeyey（e1,e2为任意常数）(A)是该方程的通解(B)是该方程的解(C)不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解13方程21ydxdy过点(0,0)的解为xysin,此解存在().(A)),((B)]0,((C)),0[(D)]2,2[14方程xeyxy23'是().(A)可分离变量方程(B)齐次方程(C)全微分方程(D)线性非齐次方程15微分方程01yxdxdy的通解是().(A)xcy(B)cxy(C)cxy1(D)cxy16在下列函数中是微分方程0''yy的解的函数是().(A)1y(B)xy(C)xysin(D)xey17方程xeyyx''的一个数解xy形如().(A)baex(B)bxaxex(C)cbxaex(D)cbxaxex18初值问题10'x11)0(;01xx在区间t上的解是().(A)ttut)((B)teutt)((C)ttetu)((D)ttteeu)(三求下列方程的解:1求下列方程的通解或通积分:(1)nyydxdy1(2)xyxydxdy21(3)5xyydxdy(4)0)(222dyyxxydx(5)3)'(2'yxyy2求方程的解01)4()5(xtx3解方程:xydxdycos2并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解4求方程:xytgxydxdy5求方程:26xyxydxdy的通解6求0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.7求解方程:022244xdtxddtxd8求方程:014455dtxdtdtxd的解9求方程25'5''xyy的通解10求下列方程组的通解xdtdytydtdxsin111求初值问题0)1('yyxy11:xR1y的解的存在区间并求出第二次近似解12求方程的通解(1)2yxydxdy(2)xyxydxdytan(3)0)4()3(2dyxydxxy(三种方法)(4)04524ydxdydxdy13计算方程xyy2sin34''的通解14计算方程txdtdxdtxdcos44215求下列常系数线性微分方程:xxeyyy210'2''16试求02x21x的基解矩阵17试求矩阵12A41的特征值和对应的特征向量.18试求矩阵53A35的特征值和特征向量19解方程组13''21yy2221yy20、0,0,00/0,,002222xxyuyxuuuuyx21、求解初值问题RxxttuRxtutRxuuxxat,0/,0/0,,222222（提示：使D′Alembert公式）22、求解初值问题0,,0,00/0,,22xccxtutxutux为常数23、求解第一初边值问题0,0/0/0),(0/0,0.,2222tlxuxulxxtutlxuutubxa四名词解释1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程4伯努利方程5Lipschitz条件6线性相关五证明题1在方程0)(')(''yxqyxpy中已知p(x);q(x)在);(上连续求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.2设x1(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程)()()(1111tfxtGdtxdtGdtxdnnnnn)()()(2111tfxtGdtxdtGdtxdnnnnn证明：x1(t)+x2(t)是方程)()()()(21111tftfxtGdtxdtGdtxdnnnnn的解。3设f(x)在[0；+]上连续且limf(x)=0求证：方程)(xfydxdy的一切解y(x)；均有limy(x)=04在方程0)(')(''yxqyxpy中p(x)、q(x)在（,）上连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w（x）是（,）上的严格单调函数。5证明：x1(t)+x2(t)是方程)()()(2111tfxadtxdtcdexdtnnnnn的解。6证明：函数组xxxneee21,（其中当ji时ji）在任意区间（a,b）上线性无关。7试证：).(sinlimxxNxNW习题答案一填空题:1、22、线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3、ex;xex4、开5、1y6、ydtxx17、ct)(,c为常数列向量8、y=x2+c9、初始10、常微分方程11、ep(x)dx12、x2+y2=c;c为任意正常数13、/xx14、21;2115、261656665ppycpx16、417、018、cx)(；其中c是确定的n维常数列向量19、u(l,t)=g2(t),)(),(tvtlxu20、多于，少于21、双曲，抛物，椭圆二单项选择1、D2、C3、C4、D5、B6、C7、A8、D9、A10、C11、D12、B13、D14、D15、B16、C17、D18、D三求下列方程的解1(1）解：当1,0yy时，分离变量取不定积分，得Cdxnyydy1通积分为1ny=Cex（2）解：令y=xu,则,dxduxudxdy代入原方程，得21udxdux分离变量，取不定积分，得nCxdxudu112（0C）通积分为：nCxxy1arcsin（3）解：方程两端同乘以y-5,得xydxdyy45令y-4=z，则,4y-5-dxdzdxdy代入上式，得xzdxdz41通解为414xCezx原方程通解为4144xCeyx（4）解：因为xNxyM2，所以原方程是全微分方程。取（x0,y0）=（0，0）原方程的通积分为xyCdyyxydx0022即Cyyx3231（5）解：原方程是克莱洛方程，通解为：y=cx+2c32解：设dtdxy则方程化为01ytdtdx，积分后得y=ct即ctdtdx于是x=c1t5+c2t3+c3t2+c4t+c5其中c1,c2,c3