05地质统计学的预备知识

空间统计的预备知识《GIS空间分析方法》第五讲2014.3.10DanieGerhardusKrigewasbornon26August1919inBothaville.HewasaSouthAfricanMiningEngineerwhopioneeredthefieldofgeostatisticsandwasprofessorattheUniversityoftheWitwatersrand,RepublicofSouthAfrica.Thetechniqueofkrigingisnamedafterhim.Krige‘sempiricalworktoevaluatemineralresourceswasformalisedinthe1960sbyFrenchengineerGeorgesMatheron.Sadlyhepassedawayon03March2013inJohannesburg.DanieGerhardusKrige-aninternationalhouseholdnametoanyonewhostudiedorpracticedthescienceofevaluatingmineralresourcesforminingpurposes,diedrecentlyinJohannesburg.2思考题简述随机变量、随机函数、随机场和区域化变量的概念以及它们之间的联系。二阶平稳假设的含义是什么，在空间信息统计中为什么要使用二阶平稳假设。何为区域化变量的空间自相关，用什么来衡量。3本讲座的内容部分基本概念相关及空间相关性二阶平稳假设4随机变量和随机向量概率分布函数和分布密度函数数学期望和方差区域化变量变量的变换1基本概念5离散随机变量（骰子，足球比赛的胜负）连续随机变量（等电话、公共汽车的时间）随机向量（多个随机变量的组合，足彩）随机变量和随机向量6分布函数：分布函数和分布密度函数1)(lim0)(lim)()()()(xFxFxFxxXPxFxx为非负密度函数：单位概率xdttfaXPxF)()()(()()()()abfxdxPaXbFbFa()()dFxfxdx7连续型均匀分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数8数学期望和方差数学期望：随机变量取值平均的大小(),()()(),()离散：连续：为概率密度函数kkkkkExxpPXxpExxpxdxpx910方差：反映随机变量取值的变化为概率密度函数)(,)()]([)()(,)]([)(22xpdxxpxExxDpxXPpxExxDkkkkk数学期望又称为一阶原点矩，方差又称为二阶中心矩数学期望和方差110假设一个样本空间，对于每一个样本都有一个函数与之对应，其中则称为定义在上的随机函数。随机函数}{),,,(21nxxxZ),,,(21nxxxZ),,(321nXXXXnnXxXxXx,,221112每个确定性的函数，如z(t,1)都是随机函数Z(t,ω)的一个实现，随机函数可以理解为它所有现实的集合。随机过程就是指与时间有关的随机函数，随机函数依赖于空间坐标则称该随机函数为随机场随机过程和随机场tZ(t,ω)Z(t,1)Z(t,2)t113以空间点x的直角坐标系(xu,xv,xw)为自变量的随机场z(xu,xv,xw)称为一个区域化变量。当一个变量呈现为空间分布时，就称之为区域化变量（RegionalizedVariable）。区域化变量14这种变量常常反映某种空间现象的特征，用区域化变量来描述的现象称之为区域化现象。15地质学、水文学、气象学、土壤学、生态学中的许多变量都具有空间分布的特点，这些变量实质上都是区域化变量。也称为区域化随机变量，它与普通的随机变量不同。普通随机变量的取值符合某种概率分布，而区域化随机变量则根据其在一个域内的位置不同而取值，即它是与位置有关的随机函数。区域化变量具有两个最显著，而且也是最重要的特征，即随机性和结构性。正是这两个特征使区域化变量在研究自然现象的空间结构和空间过程方面具有独特的优势。首先区域化变量这似乎是两个自相矛盾的特征。但是个随机函数，它具有局部的、随机、异常的特征；其次区域化变量具有结构性，即在位置上相邻的两个点具有某种程度的自相关性，这种自相关依赖于两点间的距离和变量特征。例如，根据地理学第一定律，空间上相邻的两个点总是具有最大的相似性和最小的差异性。16概念之间的关系随机函数随机变量随机过程随机场区域化变量带有参数的随机变量与时间有关的随机函数与空间有关的随机函数17协方差协方差是指两个随机变量X，Y的二阶混合中心矩)()()()]()][([),(yExExyEyEyxExEyxCov在随机过程中，是指随机过程z(t)在t1和t2时刻两个随机变量的z(t1)和z(t2)的二阶混合中心矩)]([)]([)]()([)]}([)()]}{([)({)}(),({2121221121tzEtzEtztzEtzEtztzEtzEtztzCov18变量的变换均值计量变换极差变换标准化变换变量的函数变换变量的组合19均值计量变换)(/XEXZii其数学意义是将坐标轴拉伸1/E(X)20极差变换minmaxminXXXXZii，其几何意义是将坐标原点移到最小值的位置。]1,0[iZ21标准化变换SxEXZii)(标准化后变量的均值为0，方差为1，其几何意义相当于将坐标原点移到重心。niixExnS12)]([122变量的函数变换对数变换)log(cxzii幂函数变换biidxz指数函数变换ibxidez23•对数变换的小值放大和大值缩小效应•指数变换的小值缩小和大值放大效应对于一些概率密度函数可以利用变换进行调整240246810020004000600080001000002468100.1110100100010000普通坐标对数坐标25对数正态分布xZ(x)对数正态分布262相关与空间相关相关性空间自相关空间相关272.1相关性相关分为正相关和负相关正相关:养分与产量岩石中金与银的含量负相关:收藏品的数量与价值28相关性的衡量协方差:)()()()]()][([),(yExExyEyEyxExEyxCov相关系数:22)]([)]([)]()][([),(yEyExExEyEyxExEyxr29相关系数的简化形式经过标准化变换之后，变量之间的相关系数公式可以简化：yxnyxr1),(n为变量的维数.302.2空间自相关xZ(x)协方差函数随h的变化趋势(x)(x+h)31协方差函数协方差函数指随机场Z(x)中，空间两点x和x+h处两个随机变量z(x)和z(x+h)的二阶混合中心矩，称为自协方差函数或简称协方差函数。{(),()}{()[()]}{()[()]}CovzxzxhEzxEzxzxhEzxh32协方差函数的图形hCov(h)协方差函数随h的变化趋势332.3空间(互)相关xZ(x)协方差函数随h的变化趋势(x)(x+h)z2（x）z1（x）34互协方差函数互协方差函数指两个区域化变量Z1(x)和Z2(x)，空间两点x和x+h处两个随机变量z1(x)和z2(x+h)的二阶混合中心矩，称为互协方差函数。)]}([)()]}{([)({)}(),({221121hxzEhxzxzExzEhxzxzCov35协方差.协方差函数.互协方差函数)()()()]()][([),(yExExyEyEyxExEyxCov)]}([)()]}{([)({)}(),({221121hxzEhxzxzExzEhxzxzCov)]}([)()]}{([)({)}(),({hxzEhxzxzExzEhxzxzCov36平稳假设二阶平稳假设3平稳假设37平稳假设平稳假设：指区域化变量Z(x)的任意n维分布函数不因空间点x发生位移而改变这就要求随机函数Z(x)的各阶矩都存在，且平稳。在实际中通常采用二阶平稳假设，即要求区域化变量的一、二阶矩存在并平稳。),,(})(,,)(,)({})(,,)(,)({),,(21,,,2211221121,,21,21nhxhxhxnnnnnxxxzzzFzhxZzhxZzhxZPzxZzxZzxZPzzzFnn38为什么要平稳？随机场性质的统计什么是平稳？与具体位置无关质量（平稳）、货币（不平稳）39二阶平稳假设数学期望存在且平稳mhxZExZE)]([)]([40)()]()([)]([)]([)]()([)]}([)]([)()]([)]([)()()({)]}([)()]}{([)({)}(),({2hCovmhxzxzEhxzExzEhxzxzEhxzExzEhxzxzEhxzExzhxzxzEhxzEhxzxzExzEhxzxzCov平稳假设下的协方差函数ShxZVarxZVar)]([)]([协方差函数存在且平稳41平稳随机场示例平稳的随机场：海水面不平稳的随机场：DEM局部平稳假设42二阶平稳假设的意义合理利用样本研究随机场的性质直方图统计数学期望和方差的计算协方差、变差函数的计算插值43本讲小结相关基本概念相关及空间相关性平稳假设和二阶平稳假设44参考书周成虎，裴韬等.地理信息系统空间分析原理.北京：科学出版社，2011.45