线性方程组的应用

1线性方程组的应用线性方程组是线性代数的主要研究对象之一，它的理论严谨、发展完善、处理问题方法独特，可应用于解决各个领域的实际问题。在代数理论中，借助于方程组可以判断向量组的线性相关，可以求矩阵的特征向量等；在几何、物理、化学、经济、生物、食品等许多方面，方程组也有着广泛的应用。应用一．线性方程组在空间解析几何中的应用1.1．线性方程组表示平面，判断平面的位置关系在空间解析几何中，任一平面可以用三元一次方程01111DzCyBxA表示，下面用方程组解的判定来判别两个平面的位置关系。设两个平面Ⅱ1：01111DzCyBxAⅡ2：02222DzCyBxA则Ⅱ1，Ⅱ2间的相互关系有下面三种情形：(1)当22221111222111DCBADCBARCBACBAR，即方程组1111222200AxByCzDAxByCzD的系数矩阵的秩不等于其增广矩阵的秩，方程组无解，故Ⅱ1，Ⅱ2没有公共点，Ⅱ1，Ⅱ2平行且不重合。(2)当122221111222111DCBADCBARCBACBAR时，方程组1111222200AxByCzDAxByCzD2有无穷解，且Ⅱ1，Ⅱ2重合。(3)当222221111222111DCBADCBARCBACBAR时，方程组1111222200AxByCzDAxByCzD有无穷多解，但Ⅱ1，Ⅱ2不重合，相交于一条直线。例.1判断平面Ⅱ1：082zyxⅡ2:072zyx的位置关系。解:271128121112121RR所以，平面Ⅱ1，Ⅱ2相交于一条直线L。1.2三维空间应用举例线性方程组可以应用于三维空间中，先将所考虑的问题化为一线性方程组，再利用计算机进行求解，此种方法有进一步的推广。例：考虑3维空间中由不等式：123246326000321321321xxxxxxxxx决定的区域。若将不等号换成等号，它们就是空间中的5个平面。每三个平面成一组，求这三个平面的交点的坐标，可找到多少个点？对每一个点判断是否所有不等式都成立？若都成立，此点就是一个顶点，有多少个顶点？分析问题3由于所给条件是一些不等式，对其进行求解有一些困难。我们考虑将上述不等式中的不等号换成等号。为了统一起见，将最后一个不等式作如下等价变形：1232412324321321xxxxxx一共要求解10次方程组。当方程个数较多时，用人工方式显然效率十分低下而且准确率难以保证。由此考虑用计算机求解。用Matlab6.1对该问题进行求解求解程序A=[1,0,0;0,1,0;0,0,1;6,2,3;-4,-2,-3];%系数矩阵B=[0;0;0;6;-12];%常数项矩阵General_Solution=[];%未经判断的解矩阵Vector_Solution=[];%产生每组解的方程序号和解所不满足的不等式序号矩阵None_Solution=[];%无解方程组的方程序号矩阵Valid_Solution=[];%经过判断有效的解矩阵t=1;l=1;Solve_equations;%方程求解r=1;for(s=1:t-1)if(sum(Vector_Solution(size(A,2)+1:size(A,1),s))==0)%判断解的有效性Valid_Solution(:,r)=General_Solution(:,s);%储存有效解r=r+1;endendGeneral_Solution4Vector_SolutionNone_SolutionValid_Solution其中Solve_Equations的程序如下：for(i=1:size(A,1)-2)for(j=i+1:size(A,1)-1)for(k=j+1:size(A,1))if(rank(A([i,j,k],:))==size(A,2))%判断是否满秩General_Solution(:,t)=inv(A([i,j,k],:))*B([i,j,k],:);%求解方程Vector_Solution(:,t)=[i;j;k;zeros(size(A,1)-size(A,2),1)];%记录方程序号r=size(A,2)+1;for(s=1:size(A,1))if(s~=i&s~=j&s~=k)%寻找另外的不等式序号if(A(s,:)*General_Solution(:,t)B(s))%判断是否满足不等式Vector_Solution(r,t)=s;%记录不满足的不等式序号r=r+1;endendendt=t+1;elseNone_Solution(:,l)=[i;j;k];%记录无解方程组的方程序号5l=l+1;endendendend应用二线性方程组在经济生产中的应用在经济生产中，线性方程组的应用主要是解决投入产出问题，即经济系统内部各部门间生产和分配的线性关系。2.1经济生产应用举例例1：某城三个经济部门：煤炭，电力，建材。煤炭业每生产1元产品消费电力0.2元，消费建材0.1元；电力业每生产1元产品消费煤炭0.6元，消费电力0.05元，消费建材0.05元；建材业每生产1元产品消费煤炭0.45元，消费电力0.1元，消费建材0.1元。假设今年该城的煤炭部门收到外部订单10万元，电力部门收到外部订单20万元，建材部门收到外部订单30万元。那么今年该城这三个部门应该如何安排生产？我们把该城的三个经济部门作为一个系统。首先把每生产一个单位产品要消费的系统内部东西的数量称为内部消费系数。如表1：表1内部消费系统表资料来源：赵树嫄.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,1996:213-225消费部门生产部门煤炭电力建材煤炭00.60.45电力0.20.050.1建材0.10.050.16设生产量安排为：煤炭1x万元，电力2x万元，建材3x万元。那么所有生产消费情况可列如表2：表2全部生产消费量表（单位：万元）消费部门生产部门生产量煤炭电力建材外部订单煤炭1x01x0.62x0.453x10电力2x0.21x0.052x0.13x20建材3x0.11x0.052x0.13x30当然是既满足所有外部内部需要而产品又无积压为好，这就是所谓的产销平衡原则。因此301.005.01.0201.005.02.01045.06.00321332223211xxxxxxxxxxxx解得:)(86.40)(86.35)(91.49321万元万元万元xxx2.2产品利润应用举例在经济管理中经常要涉及到使用或分配劳动力、原材料和资金等，而使得费用最小或利润最大，线性规划是帮助我们解决这类问题的一个常用方法。例2.：某企业生产甲、乙两种产品，要用三种不同的原料。从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需要三种原料分别为1，1，0单位；每生产一件产品乙，需要三种原料分别为1，2，1单位；每天原料供应能力分别为6，8，3单位。又知道，每生产一件产品甲，企业利润收入300元，每生产一件产品乙，企业利润收入为400元，企业应如何安排计划，使一天的总利润最大？解：为了解决这一实际问题，应先建立该问题的数学模型。将问题中条件列表如7表3：设产品甲的日产量为1x件，设产品乙的日产量为2x件，显然0,021xx，企业一天所获得总利润为S,则S是1x、2x的线性函数，即：21400300xxS表3利润、原材料供应产品原料甲乙原材料供应A116B128C013利润300400这个线性函数称为目标函数。求目标函数的最大值，记为：21400300maxxxS但在追求目标函数的最大值时，同时要满足问题中的一些限制条件，这些限制条件称为线性规划问题的约束条件，在本例中约束条件为：0,0,3,82,62122121xxxxxxx。这样，这个问题的数学模型可写成21400300maxxxS003826..2122121xxxxxxxts（4.2.1）对约束条件的线性不等式，可以通过适当添加新变量，使其转化为线性等式，则（4.2.1）式可转化为：21400300maxxxS85,,2,1,03826..52421321jxxxxxxxxxtsj这样线性规划问题就转化为解线性方程组问题。因此一个线性规划问题归根结底是一个线性方程组的求解问题。2.3运输费用应用举例例3现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，需求量、库存量和运价（百元/T）的数据如下表所示，试问在保证各纺织厂的需要都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使运费达到最小？表4运输问题数据工厂j仓库i#1#2#3库存量#121350#222430需求量401525资料来源:朱凤娟.经济数学（线性代数）[M].北京:中国商业出版社,1998:80-82解：每个运输方案由各仓库到工厂的运输量确定。题意即要确定从#i仓库运到#j工厂的原棉数量。故设ijx表示从#i仓库运往#j纺织厂的原棉数量)(tf表示总运费，则f可表示为：23222113121142232xxxxxxf因此各仓库的运出量不能超过它的库存量，故有305232221131211xxxxxx另外，还要保证各纺织厂的需求都得到满足，故还有9251540231322122111xxxxxx同时，总运费应该是非负的3,2,1;2,1,0jixij因而得本问题的运输模型23222113121142232minxxxxxxf)3,2,1;2,1(02515403050..231322122111232221131211jixxxxxxxxxxxxxtsij一般地，对于有m个发点和n个收点的平衡（指满足minjjiba11）运输模型为：minjijijxcf11minnjmixnjbxmiaxtsijmijijnjiij,,2,1;,,2,1,0,,3,2,1,,,3,2,1,..11其中，ia为#i发点的存量，jb为#j收点的需求量,ijc为从#i发点到#j收点的单位运价。模型属线性规划模型，一般可借助于数学软件求解。例如Matlab软件包的函数。模型最优解为：0,30,25,15,10332221131211xxxxxx最优值为:10170f应用三线性方程组化学中的应用3.1化学方程式的平衡应用线性方程组在化学中有着广泛的应用，其应用之一是利用方程组对化学方程式进行配平。例3.1.1在光合作用过程中，植物能利用太阳光照射将二氧化碳（2CO）和水（OH2）转化葡萄糖（6126OHC）和氧（2O）。该反应的化学反应式具有下列形式：61264232221OHCxOxOHxCOx为了使反应式平衡，我们必须选择恰当的1x，2x，3x及4x才能使反应式两端的碳（C）原子、氢（H）原子及氧（O）原子数目对应相等。由2CO含一个C原子，而6126OHC含6个C原子，故而为维持平衡，必须有：416xx类似地，为了平衡O原子，必须有：4321622xxxx最后，为了平衡H原子，必须有：42122xx如果将所有未知量移至等号左边，那么将得到一个齐次线性方程组：012206220642432141xxxxxxxx其系数矩阵的秩nAr)(，可以知道方程组有非零解，为了使化学方程式两端平衡，必须找到一个每个分量均为正数的解Txxxx4321,,,。简化该方程组的增广矩阵可得：1106100060100