微积分下册期末试卷及答案[1]

微积分（下）试卷及参考答案第1页共13页1、已知22(,)yfxyxyx,则),(yxf_____________.2、已知,则dxexx021___________.dxex23、函数22(,)1fxyxxyyy在__________点取得极值.4、已知yyxxyxfarctan)arctan(),(,则)0,1(xf________.5、以xexCCy321)((21,CC为任意常数)为通解的微分方程是____________________.6知dxexp0)1(与epxxdx11ln均收敛,则常数p的取值范围是(c).(A)1p(B)1p(C)12p(D)2p7数0,00,4),(222222yxyxyxxyxf在原点间断,是因为该函数(b).(A)在原点无定义(B)在原点二重极限不存在(C)在原点有二重极限,但无定义(D)在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若22223111xyIxydxdy,222232121xyIxydxdy,222233241xyIxydxdy,则下列关系式成立的是(a).(A)123III(B)213III(C)123III(D)213III9、方程xexyyy3)1(596具有特解(d).(A)baxy(B)xebaxy3)((C)xebxaxy32)((D)xebxaxy323)(10、设12nna收敛，则1)1(nnna(d).(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)不定一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1xyy.2、.3、)32,31(.4、1.5、6'0yyy.微积分（下）试卷及参考答案第2页共13页11、求由23xy,4x,0y所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积.解：32yx的函数为23,0xyy。且4x时，8y。于是)6()3(分分2488223300837730(4)16(80)33128128(80)775127Vydyydyy12、求二重极限11lim222200yxyxyx.解：原式11)11)((lim22222200yxyxyxyx(3分)2)11(lim2200yxyx(6分)13、),(yxzz由xyezz确定，求yxz2.解：设(,,)zFxyzzexy，则xFy，yFx，1zzFe11xzzzzFyyxFee，11yzzzFzxxyFee(3分)222111(1)1(1)zzzzzzzzeyezyexyyxyyeeee(6分)14、用拉格朗日乘数法求221zxy在条件1yx下的极值.解：222(1)1222zxxxx令'420zx,得12x,40z,12x为极小值点.(3分)故221zxy在1yx下的极小值点为11(,)22,极小值为32(6分)微积分（下）试卷及参考答案第3页共13页15、计算1212dxedyyyyx.解：2112123182xyyyIdyedxee(6分)6、计算二重积分22()Dxydxdy，其中D是由y轴及圆周221xy所围成的在第一象限内的区域.解：22()Dxydxdy＝13200drdr＝8(6分)17、解微分方程xyy.解：令yp,py,方程化为xpp,于是)(1)1()1(Cdxexepdxdx)(1Cdxexexx])1([1CexexxxeCx1)1((3分)2121)1(21])1([CeCxdxeCxdxpyxx(6分)18、判别级数)11(133nnn的敛散性.解：333321111nnnn(3分)因为333311limlim1111nnnnnnnnnn19、将函数x31展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131xx,已知011nnxx,11x,(3分)那么01031)3(3131nnnnnxxx,33x.(6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用1x(万元)的及报纸广告费用2x(万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415xxxxxxR，求最优广告策略解：公司利润为22212121211028311315xxxxxxxxRL微积分（下）试卷及参考答案第4页共13页令,020831,04813211221xxLxxLxx即,31208,13842121xxxx得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21xx,而(3分)0411xxLA,821xxLB,2022xxLC,064802BACD,所以最优广告策略为：电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元).(6分)四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()zxy，证明：13zzxyxy.证：2233113311113333,xyzzxyxyxy22、若12nnu与12nnv都收敛,则12)(nnnvu收敛.证：由于)(22)(022222nnnnnnnnvuvuvuvu,(3分)并由题设知12nnu与12nnv都收敛,则)(2212nnnvu收敛,从而12)(nnnvu收敛。(6分)1、设22(,)yfxyxyx，则),(yxf_____________.2、已1()2知，则5()2＝___________.3、设函数22(,)22fxyxaxxyy在点(1,1)取得极值，则常数________a4、已知)arctan4(),(yxyxyxf,则)0,1(xf________5、以xxeCeCy321(21,CC为任意常数)为通解的微分方程是__________________.6、已知dxepx0与epxxdx1ln均收敛,则常数p的取值范围是().微积分（下）试卷及参考答案第5页共13页(A)0p(B)0p(C)1p(D)10p7、对于函数22(,)fxyxy,点(0,0)().(A)不是驻点(B)是驻点而非极值点(C)是极大值点(D)是极小值8、已知21()DIxyd,32()DIxyd,其中D为22(2)(1)1xy,则().(A)12II(B)12II(C)12II(D)2212II9、方程xxeyyy265具有特解().(A)baxy(B)xebaxy2)((C)xebxaxy22)((D)xebxaxy223)(10、级数12)1(nnnna收敛，则级数1nna().(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)敛散性不定11、求3xy,0y,2x所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限)1sin1sin(lim00xyyxyx.13、设xyyxz1arctan,求22xz.14、用拉格朗日乘数法求(,)fxyxy在满足条件1xy下的极值.15、计算1010dedyxxxy.16、计算二重积分22Dxydxdy,其中D是由y轴及圆周22(1)1xy所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程0yyx.18、判别级数12!nnnn的敛散性.19、将函数xxf1)(展开成)3(x的幂级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x单位甲产品,生产y单位乙产品的总费用为2220300.1(223)100xyxxyy,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.微积分（下）试卷及参考答案第6页共13页21、设222lnzyxu,证明222222zuyuxu2221xyz.22、若12nna与12nnb都收敛,则1nnnba收敛.（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题(每小题3分,共15分)1、设)(yxfyxz，且当0y时，2xz，则z。（2222xxyyy）2、计算广义积分13xdx=。（12）3、设xyez，则)1,1(dz。（)(dydxe）4、微分方程xxeyyy265具有形式的特解.（xebxax22)(）5、设14nnu，则11122nnnu_________。（1）二、选择题(每小题3分,共15分)1、2222003sin()limxyxyxy的值为（A）A.3B.0C.2D.不存在2、),(00yxfx和),(00yxfy存在是函数),(yxf在点),(00yx可微的（A）。A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面zxy422和z0及柱面xy221所围的体积是（D）。A.ddrrr420202；B.122004d4drr；C、21200d4drr；D.4420102ddrrr4、设二阶常系数非齐次线性方程()ypyqyfx有三个特解xy1，xey2，xey23，则其通解为（C）。A.xxeCeCx221；B.xxeCeCxC2321；C.)()(221xxxexCeeCx；D.)()(2221xeCeeCxxx5、无穷级数11)1(npnn(p为任意实数)（D）微积分（下）试卷及参考答案第7页共13页A、收敛B、绝对收敛C、发散D、无法判断三、计算题(每小题6分,共60分)1、求下列极限：00lim11xyxyxy。解：00lim11xyxyxy00(11)lim(1)1xyxyxyxy…（3分）00lim(11)112xyxy…（6分）2、求由xy与直线1x、4x、0y所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。解：421()dxVxx…（4分）7.5…（6分）3、求由xyzez所确定的隐函数),(yxzz的偏导数,zzxy。解：方程两边对x求导得:xzxyyzxzez,有)1(zxzxyeyzxzz…（3分）方程两边对y求导得:yzxyxzyzez,有)1(zyzxyexzyzz…（6分）4、求函数322(,)42fxyxxxyy的极值。解：322(,)42fxyxxxyy，则2(,)382xfxyxxy，(,)22yfxyxy，(,)68xxfxyx，(,)2xyfxy，(,)2yyfxy，求驻点，解方程组23820220xxyxy，，得)0,0(和(2,2).…（2分）对)0,0(有(0,0)80xxf，(0,0)2xyf，(0,0)2yyf，于是2120BAC，所以)0,0(是函数的极大值点，且(0,0)0f…（4分）对(2,2)有(2,2)4xxf