2016版新课标高考数学题型全归纳文科PPT.第二章 函数第5~6节

第五节函数的图像及应用✎考纲解读1.掌握描绘函数图象的两种基本方法—直接画法和图象变换法.2.会利用函数图象进一步研究函数的性质，解决方程和不等式中的问题.3.了解函数的零点与方程根的联系，判断方程根的存在性及根的个数.4.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.✎知识点精讲一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法（1）直接画（2）图像的交换：1.平移变换，2.对称变换，3.伸缩变换.三、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫函数的零点.四、方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点.五、零点存在性定理如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，也就是方程的根.()yfx()0fx()yfx()0fxx()yfxx()yfx()yfx,ab()()0fafb()yfx,ab,cab()0fcc()0fx题型29判断函数的图像【例2.77】函数的图象大致是（）.【分析】观察四个选项给出的图像，区别在于函数零点的个数及单调性不同.22xyxOyxAyxOByxOCyxOD✎题型归纳及思路提示【解析】解法一：当时，函数单调递增，同时函数在上单调递增，故函数在上是单调递增，排除选项C、D；当时，存在两个零点，，故排除选项B.故选A.解法二：如图2-33所示，由图像可知，函数与函数的交点有个，说明函数的零点有个，故排除选项B、C，当时，成立，即故排除选项D.故选A.0x„2xy2yx,02()2xfxx,00x()fx12x24x2xy2yx322xyx30xx22xx2()20xfxx，图2-33【例2.81】已知，则函数的零点个数是（）.A.B.C.D.【分析】对于复合函数的零点问题利用换元法与图象法综合求解.【解析】令，则.由图2-36（1）知，得或，对应图2-36（2）知，因此函数的零点个数是.故选A.21(0)()log(0)xxfxxx„()1yffx4321()ftfxR()1yft()1ft2t121234113,,,2.42xxxx()1yffx4()yft1y2t12t1x3x2x4xxt1-1O（2）（1）O-1112-21t图2-36题型30函数图像的应用【例2.82】函数𝑓𝑥=e𝑥+𝑥−2的零点所在的一个区间是（）.A.−2，−1B.−1，0C.0，1D.1，2函数𝑓𝑥=e𝑥+𝑥−2在𝐑上递增，【解析】且𝑓0=e0−2=−10，𝑓1=e−10，所以𝑓𝑥=0的零点所在的区间是0，1.故选C.【例2.82变式1】设函数与的图像的交点为，则所在的区间是（）.A.B.C.D.【解析】解法一：利用等价转化思想将交点问题转化为函数零点问题.令，可知，，易知函数的零点所在的区间为解法二：在同一坐标系中作出两个函数的图像，如图2-68所示，易知.故选B.3yx212xy00,xy0x0,11,22,33,432()2xgxx(1)10,g(0)40g(2)70g53(3)02g255(4)0,4g()gx1,2.0(1,2)x【例2.83】函数𝑦=11−𝑥的图像与函数𝑦=2sinπ𝑥−2≤𝑥≤4的图像所有交点的横坐标之和等于（）.A.2B.4C.6D.8本题考查利用数形结合思想求解函数图像交点个数问题及整体性质.【分析】【解析】如图所示，在同一坐标系中画出两个函数的图像，x8x7x6x5x4x34321yxx2x1-2-1O-22易知两个函数图像共同的对称中心为1，0，设8个交点的横坐标分别为𝑥1，𝑥2，⋅⋅⋅，𝑥8，故选D.结合函数图像，由对称性得𝑥1+𝑥8=2，𝑥2+𝑥7=2，⋅⋅⋅，故所有交点的横坐标之和等于8.本题利用函数图像的中心对称性，整体求解横坐标之和，体现数学解题中整体思想的特点.【评注】【例2.84】设函数，若，的取值范围是（）.A.B.C.D.【分析】作出函数与的图像，由图像得不等式的解集.【解析】作出函数与的图像，如图2-38所示，得所对应的的取值范围是.故选D.12210()0xxfxxx„0()1fx0x1,11,,20,,11,()yfx1y()yfx1y0()1fx0x,11,O1yx-11图2-38【例2.85】用min𝑎，𝑏，𝑐表示𝑎，𝑏，𝑐三个数中的最小值，设𝑓𝑥=min2𝑥，𝑥+2，10−𝑥𝑥≥0，则𝑓𝑥的最大值为（）.A.4B.5C.6D.7函数𝑦=𝑓𝑥实际上是一个定义在0，+∞上的分段函数，利用数形结合思想即可作答.【分析】【解析】如图所示，函数𝑓𝑥图像（实线部分）的最高点为𝐴，即直线𝑦=𝑥+2与直线𝑦=10−𝑥的交点，则点𝐴的纵坐标即为所求.易得𝐴4，6，故选C.所以函数𝑓𝑥的最大值为6.y=x+2y=2xy=10-xA4,6()yxO第六节函数的综合✎知识点精讲高考中考查函数的内容主要是以综合题形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题.求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通.从而找到解题的突破口.掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指、对数式大小的常见比较方法；掌握指、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.✎题型归纳及思路提示题型31函数与数列的综合【例2.86变式2】设函数，是公差为的等差数列，，则（）.A.B.C.D.【分析】本题将数列与函数结合，其解题思路是研究函数性质（单调性、奇偶性）与数列的特征.【解析】由得，令，则在上为单调递增的奇函数，故()2cosfxxxnaπ8125()()()5πfafafa2315()faaa021π1621π8213π16()2cosfxxxπππ2cos222fxxx2sinπxx()2singxxx()gxR125()()()5πfafafa125πππ5π-5π0222gagaga.又数列为等差数列，故，得，且数列的公差为，所以，，，.故选D.【评注】本题构造了单调递增的奇函数使得解题思路茅塞顿开，较之其他解法本法更胜一筹，望同学们品评.125125πππ50π2222gagagaaaana125355π2aaaa3π2anaπ81π4a23π8a45π8a53π4a222222315π3313()ππππ.2161616faaaf()gx题型32函数与不等式的综合【例2.87】已知函数（1）当，且时，求证：；（2）是否存在实数，（），使得函数的定义域，值域都是，若存在，则求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若存在实数（），使得函数的定义域为时，值域为，求的取值范围.【解析】（1）函数的图象如图2-40所示.当，且时，，则，1()10.fxxx0ab()()fafb1ababab()yfx,ab,ab,abab()yfx,ab,mamb0mm1()10fxxx0ab()()fafb1111ab1111ab（2）假设存在实数，使得函数的定义域，值域都是，（ⅰ）若时，函数单调递减，，.则，故舍去；（ⅱ）若时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，而，故函数的定义域，值域不能都是故舍去；（ⅲ）若时，函数在上单调递增，且，故不满足的定义域，值域都是.综上，不存在实数，使得函数的定义域，值域都是，即，得.11122abab11ab1ab,abab()yfx,ab01ab()fx11()111fabaabaa，，11()11fbabb1babab01ab()fx,1a1,b0fR0,ab()fx,ab，1ab()fx,ab0()1fx()fx,ab,abab()yfx,.ab图2-40（3）依题意，，（ⅰ）当时，函数在上单调递减，则，即，得，故舍去；（ⅱ）当时，函数在上单调递减，上单调递增，函数的值域中包含，而，故不满足题意，舍去；（ⅲ）当时，函数在上单调递增，则，即，故方程，，存在两个大于的实根，，满足，得，综上，的取值范围是．0m01ab()fx,ab()()fambfbma1111maambbab1ab()fx,1a1,b()fx00ma1ab()fx,ab()()fambfbma1111maambb11mxx0m1210mxx0112mmm104mm10,4题型33函数中的创新题【例2.89】设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数.如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是；如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是．【解析】解法一：由高调函数的定义可知，对，恒成立，即不等式，恒成立，令，则，得，故的取值范围是．()fxDl,xMMDxlD()()fxlfx…()fxMl1,2()fxx1,mmR()fx0x…22()fxxaa()fxR4a1,x()()fxmfx…22xmx…1,x220mmx，…2()2gxmmx0(1)0mg…2m…m2,解法二：图示法，依题意，，恒成立，则，故实数的取值范围是.函数的图象，如图2-41所示，又函数为的上的奇函数，利用对称性作出函数的图象，若为上的高调函数，则须满足，得.故实数的取值范围是．22xmx…1,x2m…m2,22()0fxxaax…()fxR()fx()fxR4244a„11a剟a1,1xy1-1-2O2a22a2a22a2a2axyO图2-41