等差数列前n项和的性质及应用(67张PPT)

第二章数列系列丛书进入导航第二章数列第二章数列系列丛书进入导航2.3等差数列的前n项和人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航第2课时等差数列前n项和的性质及应用课时作业课前自主预习课堂互动探究随堂知能训练人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航1.进一步了解等差数列的定义，通项公式及前n项和公式．2．理解等差数列的性质，等差数列前n项和公式的应用．3．掌握等差数列及前n项和最值问题.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航课主自前预习课前预习·········································明确目标人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航等差数列前n项和的性质数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和具有下列性质：1．Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n，新知初探人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是公差为n2d的等差数列，且有Sn＋S3n－S2n＝2(S2n－Sn)．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航2．若项数为2n，则S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1＝d＋d＋…＋d＝nd，S奇S偶＝n2a1＋a2n－1n2a2＋a2n＝2an2an＋1＝anan＋1.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航3．若项数为2n－1，则S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝n－12(a2＋a2n－2)＝n－12×2an＝(n－1)an，S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝n2×2an＝nan，S奇－S偶＝nan－(n－1)an＝an(这里an＝a中)，S奇S偶＝nann－1an＝nn－1.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航4．如果等差数列{bn}的前n项和为Tn，则有anbn＝2an2bn＝a1＋a2n－1b1＋b2n－1＝2n－1a1＋a2n－122n－1b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航等差数列前n项和Sn在什么情况下取得最值？如何求Sn的最值？思考感悟提示：(1)在等差数列{an}中，若a10，d0，则Sn必有最大值；若a10，d0，则Sn必有最小值．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航(2)Sn的最值的求法①用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通过配方或求二次函数最值的方法求得．②在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数图象求解，还常用邻项变号法来求解．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航当a10，d0时，满足an≥0，an＋1≤0的项数n，使Sn取最大值；当a10，d0时，满足an≤0，an＋1≥0的项数n，使Sn取最小值．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航课动互堂探究例练结合·········································素能提升人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航类型一等差数列的部分和Sn，S2n－Sn，S3n－Sn，…仍成等差数列典例导悟人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航[例1]若Sn表示等差数列的前n项和，S4S8＝13，则S8S16＝________.[分析]可以设出首项a1与公差d，代入条件S4S8，进一步求S8S16的值．但是，我们注意到序号为4、8、16，可以考虑用性质来解．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航[解]∵S4S8＝13，故设S4＝x，则S8＝3x.由于S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S4＝x，S8－S4＝3x－x＝2x，∴新数列公差为x.∴S12－S8＝3x，S16－S12＝4x，∴S12＝3x＋S8＝3x＋3x＝6x，而S16＝S12＋4x＝6x＋4x＝10x.∴S8S16＝3x10x＝310.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航[点评]巧用性质解题，使计算化繁为简．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航变式训练1(1)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝30，a5＋a6＋a7＋a8＝80，则a9＋a10＋a11＋a12＝________.(2)一个等差数列前n项和为25，前2n项和为100，求其前3n项的和．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航解析：(1)由题意知S4＝30，S8－S4＝80.∵S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，∴30、80、S12－S8成等差数列．∴S12－S8＝130.而S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12，∴a9＋a10＋a11＋a12＝130.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航(2)Sn＝25，S2n＝100.设S3n＝x.由于Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，∴25,100－25，x－100成等差数列．∴(x－100)＋25＝2(100－25)．∴x－100＋25＝150.∴x＝225，∴S3n＝225.答案：(1)130(2)225人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航类型二两个等差数列前n项和之比问题[例2]若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和An和Bn满足关系式AnBn＝7n＋14n＋27(n∈N*)，求anbn.[分析]条件是前n项和的比值，而结论是通项的比值．所以，需要将通项的比值转化为前n项和的比值．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航[解]由等差数列性质：an＝a1＋a2n－12，bn＝b1＋b2n－12，∴anbn＝a1＋a2n－12b1＋b2n－12＝2n－1a1＋a2n－122n－1b1＋b2n－12＝A2n－1B2n－1＝72n－1＋142n－1＋27＝14n－68n＋23.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航[点评]恰当的应用等差中项可以简化解题过程．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航变式训练2设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则S9S5＝________.解析：S9S5＝9a1＋a925a1＋a52＝95·a5a3＝95×5＝9.答案：9人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航类型三等差数列的奇数项和与偶数项和问题[例3]在等差数列{an}中，S12＝354，在这12项中S偶∶S奇＝32∶27，求公差d.[分析]可以通过a1与d来求；也可以考虑奇数项和与偶数项和的性质．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航[解]方法1：设等差数列的首项和公差分别为a1和d，则12a1＋12×112d＝354，6a1＋d＋6×522d6a1＋6×522d＝3227，∴d＝5.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航方法2：S奇＋S偶＝354，S偶S奇＝3227，⇒S偶＝192，S奇＝162，∴S偶－S奇＝6d＝30，∴d＝5.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航变式训练3(1)等差数列{an}中，S10＝120，在这10项中，S奇S偶＝1113，求公差d.(2)含2n＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为()A.2n＋1nB.n＋1nC.n－1nD.n＋12n人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航解析：(1)S奇＋S偶＝120，S奇S偶＝1113，⇒S奇＝55，S偶＝65，∴S偶－S奇＝5d.∴65－55＝5d.∴10＝5d.∴d＝2.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航(2)方法1：∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝n＋1a1＋a2n＋12，S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋a2n2，又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴S奇S偶＝n＋1n，选B.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航方法2：∵项数为奇数，∴S奇S偶＝项数＋1项数－1＝2n＋1＋12n＋1－1＝2n＋22n＝n＋1n，选B.答案：(1)2(2)B人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航类型四等差数列前n项和的最值问题[例4]等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航[解]方法1：a1＝25，S17＝S9.则17a1＋17×162d＝9a1＋9×82d，d＝－2.从而Sn＝25n＋nn－12(－2)＝－(n－13)2＋169.故前13项之和最大，最大值是169.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航方法2：Sn＝d2n2＋(a1－d2)n(d0)，Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的纵坐标为9＋172，即S13最大．如图所示，最大值为169.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航方法3：∵S17＝S9，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0.∵a1＝250，∴a130，a140.∴S13最大，最大值为169.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航方法4：先求出d＝－2，∵a1＝250，由an＝25－2n－1≥0，an＋1＝25－2n≤0.得n≤1312，n≥1212.∴当n＝13时，Sn有最大值169.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航[点评]综合上面的方法我们可以得到求数列前n项和的最值问题的方法：(1)运用配方法转化为二次函数，借助函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公式法：求使an≥0(或an≤0)成立的最大n即可．这是因为：当an0时，SnSn－1，即单调递减．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航一般地，等差数列{an}中，若a10，且Sp＝Sq(p≠q)，则①当p＋q为偶数时，则n＝p＋q2时，Sn最大；②当p＋q为奇数时，则n＝p＋q－12或n＝p＋q＋12时，Sn最大．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航变式训练4已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航解：(1)设{an}的公差为d，由已知条件，a1＋d＝1，a1＋4d＝－5，解出a1＝3，d＝－2，所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5.(2)Sn＝na1＋nn－12d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2.所以n＝2时，Sn取到最大值4.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航易错点：等差数列前n项和Sn中忽视n的取值范围．[错题展示]已知等差数列{an}，a2＝3，a4＝－5，求等差数列{an}的前n项和Sn的最大值．自我纠错人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航[错解]∵在等差数列{an}中，d＝a4－a22＝－4，∴a1＝a2－d＝7.∴Sn＝na1＋nn－12d＝－2n2＋9n＝－2(n－94)2＋818.∴Sn的最大值是818.人教A版·数学·必修5第二章2.3第2课时系列丛书进入导航[错因分析]∵Sn＝－2(n－94)2＋818，∴Sn