简单随机抽样与抽样分配

第9章簡單隨機抽樣與抽樣分配A.一般練習題9.1一個抽樣調查以電話簿中的電話號碼來隨機抽樣，並從事電話訪問，這種抽樣方法會漏掉所有沒裝電話的人。這是非抽樣誤差還是抽樣誤差的來源。解非抽樣誤差。9.2某大學學務處從大學部學生名單當中，隨機抽取了100個學生來訪問，聽取他們對大學生活的意見。若他們同時隨機抽取了兩組100人的簡單隨機樣本，從這兩個樣本得出的結果，恐怕會有些不一樣。這種變異是抽樣誤差或是非抽樣誤差的來源？解抽樣誤差。9.3.一個生日宴會中有30個滿20歲的學生以及20個未滿20歲的學生。你從滿20歲的當中隨機抽出3個，另外從未滿20歲的當中隨機抽出2個，然後問他們對喝酒的看法，請問此時每位學生被抽中的機率為何？此種抽樣方法是簡單隨機抽樣嗎？為什麼？這種是何種抽樣方法？解均為101，不是簡單隨機抽樣，而是分層抽樣，因為此時的抽樣方法是將母體分為二層，再自各層中按比例抽取，此時的抽樣方法未能使所有可能抽出的樣本抽出的機率均相等，例如此時5個滿20歲的學生的樣本不可能被抽出。9.4.何謂抽樣誤差與非抽樣誤差？試舉例說明之。解請參閱課本第271~272頁。9.5試分別說明簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣、部落抽樣及系統抽樣四種抽樣方法適用的情形，並說明這些抽樣方法的優缺點。解請參閱課本第275~278頁及第305~310頁。9.6設有一母體之機率分配如下：X269)(Xf0.30.20.5若自該母體以抽出放回之方式隨機抽二個樣本，表為（XX12,）：求XXX122之抽樣分配。求X之期望值及變異數，其與母體之均數及變異數間有何關係？解X的機率分配表為：X269f(X)0.30.20.5XX12的聯合機率分配表為：X2\X126920.090.060.1560.060.040.190.150.10.25X的機率分配為：XfX()20.0940.125.50.360.047.50.290.25EXxfx()().........200940125503600475020902563VXxfxx()()()..(.).2222220099025634605母體X之平均數與變異數為：EX()....20360290563VXxfxX()()...(.)...22240336028105634893969921X與母體X之平均數及變異數之關係為：VXVXVXn()()()2，其中n為樣本數。9.7謂「中央極限定理」？說明中央極限定理的重要性。解請參閱課本第289頁。9.8盒中放有4球，其編號分別是1、2、3、4，今自此盒中隨機抽出2球（採抽出不放回法），令X1、X2為其編號數，且XXX122/：求X之抽樣分配。求EX()與VX()。解組合(1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4)X1.522.52.533.5fX()1/61/61/61/61/61/6fXXXXXX()/////1632162135216316720其他EX()...1516216351625VX()..(.).151621635162504222229.9武陵某農場生產水梨，其重量為一常態分配，平均數為560公克，標準差為20公克，試求下列各小題：水梨重量大於580公克的機率。抽取16個水梨，16個水梨平均重量大於580公克的機率。若10個水梨裝成一盒，問一盒水梨重量的平均數與變異數為何？若要求一盒的水梨重量要在5500~5700之間時，則有多少箱的水梨不符合規定？EXEX()()解1587.0)1()20560580()580(ZPZPXPPXPZPZ()()().580580560201640000Sxii110ES()105605600VSVxi()()102040002PSPS()()55005700550056004000570056004000PZ(..).1581580885810885801142..9.10某蛋行所用的塑膠袋，一個最多只能裝1,250公克的東西。設該蛋行所賣的雞蛋的重量為一平均數60公克，標準差4公克的常態分配。某人買了20個雞蛋，請問塑膠袋會破掉的機率為多少？續上題，設又知該蛋行所賣的鴨蛋的重量為一平均數為70公克，標準差為6公克的常態分配。某人買了12個雞蛋與6個鴨蛋，請問塑膠袋會破掉的機率為何？解令X表20個雞蛋的重量，XN~(,,)1200320，PXPZ(,)(.).125027900026，塑膠袋會破掉的機率為0.0026。令Y表12個雞蛋和6個鴨蛋的重量，YN~(,,)1140408，PYPZ(,)(.).125054500000，塑膠袋會破掉的機率很小，幾乎為0。9.11已知某紡織公司員工為200人，其平均年資為10年，標準差為6年。若以抽出放回的方式隨機抽取49人，求這49人的平均年資介於9與11年之間的機率。若以抽出不放回的方式隨機抽取49人，求這49人的平均年資介於9與11年之間的機率。解母體的分配未知，但為大樣本，故可用中央極限定理求解。此49人平均年資X的分配趨近於N(,.)1007347，PXPZ()(..).9111171170758此49人平均年資X的分配趨近於N(,.)1005575，0734715119905575..。PXPZ()(..).911134134081989.12設某一國的國民中，習慣用左手的人佔總人數的30%。若隨機抽選25名該國人民，試問其中習慣用左手的人的比例的分配為何？若隨機抽選225名該國人民，試問其中習慣用左手的人的比例的分配趨近何種分配？其平均值、變異數、偏態係數、峰態係數各為何？續題2，試問其比例落在母體比例0.08之間的機率為何？解為二項分配(.,.)03000084趨近常態分配，平均數03.，變異數000093.。偏態係數0，峰態係數3PppPpPZ(||.)(|.|.)(..).008030008267267099249.13A牌手錶的平均使用年限為8年，標準差為1.4年，B牌手錶的平均使用年限為9年，標準差為1.9年。若將A、B兩種牌子的手錶各選出64個樣本，求B牌手錶平均使用年限比A牌手錶長1.5年的機率。解令A與B分別表示A牌與B牌手錶的樣本平均使用年限。雖然母體分配未知，但樣本數夠大，故由中央極限定理可知：ANBN~(,.),~(,.)8017590237522，BAN~(,.)102952PBAPZPZ(.)(..)(.).151510295169004559.14大熹食品公司在其出品的豆乾上標示平均重量為250公克，標準差為5公克。為驗證該公司之標示是否屬實，消基會前往抽查100包豆乾，試問：以標示重量為中心試求100包豆乾的平均重量涵蓋90%的範圍。這100包豆乾的平均重量為小於248公克的機率為何？解令X表這100包豆乾的平均重量。雖然不知母體的分配為何，但樣本數夠大，故由中央極限定理可得XN~(,.)250025PXcPcZcPZ(||)(..).(..)25005050916451645cc05164508225...，90%的範圍是249.1775公克~250.8225公克。PXPZ()()248409.15某農場出產的蜂蜜，每瓶重量呈常態分配，平均重量為500公克，標準差為24公克。一食品檢驗單位抽檢16瓶該農場的蜂蜜，試問：該16瓶蜂蜜的平均重量在490至510公克之間的機率為多少？該16瓶蜂蜜的平均重量在多少公克以上的機率為0.1？解令X表16瓶蜂蜜的平均重量，XN~(,)50036。PXPZ()(..).4905101671670905PXcPZcPZ()().(.)500601128cc500612850768..9.16假設一公司的生產線上每天約產生0.05的瑕疵品，該公司的品管部門每天都要抽驗100個成品，若抽驗的成品中有超過8%為瑕疵品，則當天所有的成品均作廢。試問：每天抽驗成品中瑕疵品比例的分配為何？每天抽驗成品中瑕疵品的比例超過0.06的機率為何？300工作天中約有幾天的成品須作廢？解令p表抽驗的成品中瑕疵品所佔的比例，p為二項分配因抽驗成品數夠大，由中央極限定理知p趨近常態分配：~(.,.)pN0050000475PpPpPZ(.)(.)(.).008121100007511401271300012713813..，約有38天的成品須作廢。9.17假設若有一母體包含6個值：123456。將此6值視為一組樣本，求其標準差。若自此母體中抽出3n之隨機樣本，並假設抽出放回，求樣本平均數的平均數及變異數。若抽出不放回，則其樣本平均數的平均數及變異數又為何？解87.15)5.3(6911)(22nXXS。972.03917.2)(5.3)(2nXVXE，917.26)5.3(691)(222nX583.03917.2531)(5.3)(2nNnNXVXE。B.應用題9.18臺北市”110”報案電話受理刑事案件，民國89年1至12月每月受理件數如下表：月份123456789101112件數692612691644679636661807791846846958資料來源：《臺北市警務統計年報》，臺北市政府警察局，2001年7月。該年平均每月受理多少刑事案件？若隨機選取2、3、5、7、8、9月的資料為一組樣本，則由此組樣本所得的每月受理案件數為多少？抽樣誤差為多少？若隨機選取3、4、5、11月的資料為另一組樣本，則由此組樣本所得的每月受理案件數為多少？抽樣誤差又為多少？解臺北市”110”報案電話受理刑事案件，民國89年1至12月每月受理件數如下表：月份一二三四五六七八九十十一十二件數692612691644679636661807791846846958(資料來源：《臺北市警務統計年報》，臺北市政府警察局，2001年7月)73912/863,812/)958846612692(該年平均每月受理739件刑事案件。7096/241,46/)791807661679691612(1X第一組樣本所得的每月受理案件數為709件抽樣誤差307397091X(件)7154/860,24/)846679644691(2X第二組樣本所得的每月受理案件數為715件抽樣誤差247397152X(件)9.19臺閩地區領有身心障礙者手冊之身心障礙者的平均月薪為25,881，標準差為19,150元。（資料來源：《身心障礙者生活需求調查報告（就業服務與職業訓練篇）》，內政部統計處、行政院衛生署、行政院勞工委員會，2001年1月，標準差為分組資料估算值，。）現隨機選取144位領有身心障礙者手冊之人為樣本，請問：平均月薪的分配為何？平均月薪超過30,000元的機率為何？平均月薪不到25,000元的機率為何？解母體分配未知，但樣本數夠大(30144n)，所以根據中央極限定理，平均月薪的分配為常態分配，其平均數與標準差為：596,1144/150,19/881,25nXX0049.0)58.2()596,1881,25000,30()000,30(ZPZPXP平均月薪超過30,000元的機率僅0.0049。2912.0)55.0()596,1881,25000,25()000,25(