2017年新课标全国卷3高考理科数学试题及答案

****----绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A=22(x,y│)xy1，B=(x,y│)yx，则AB中元素的个数为A．3B．2C．1D．02．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=A．12B．22C．2D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳****----5的展开式中x3y3的系数为4．(x+y)(2x-y)A．-80B．-40C．40D．805．已知双曲线C：22xy221ab(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为5yx,且与椭圆222xy1231有公共焦点，则C的方程为A．22xy8101B．22xy451C．22xy541D．22xy4316．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是3A．f(x)的一个周期为-2πB．y=f(x)的图像关于直线x=83对称C．f(x+π的)一个零点为x=D．f(x)在(,π单)调递减627．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π49．等差数列an的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为A．-24B．-3C．3D．8****----10．已知椭圆C：22xy221，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为ab直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为A．63B．33C．23D．1311．已知函数2x1x1f(x)x2xa(ee)有唯一零点，则a=A．12B．13C．12D．112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=AB+AD，则+的最大值为A．3B．22C．5D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。xy0，则z3x4y的最小值为__________．13．若x，y满足约束条件xy20y014．设等比数列an满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________．15．设函数f(x)x1x0，，则满足x2，x0，1f(x)f(x)1的x的取值范围是_________。216．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）****----△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．20．（12分）2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直已知抛物线C：y径的圆．****----（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．21．（12分）已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx．（1）若f(x)0，求a的值；111（2）设m为整数，且对于任意正整数n，1++1+)()(1)(﹤m，求m的最小2n222值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x2+t,ykt,（t为参数），直线l2的参数方程x2m,为ymk,（为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．m（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M为l3与C的交点，求M的极径．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；2（2）若不等式f（x）≥x–x+m的解集非空，求m的取值范围．****----绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案一、选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B9.A10.A11.C12.A二、填空题13.-114.-815.1（-，+）416.②③三、解答题17.解：2（1）由已知得tanA=3，所以A=3在△ABC中，由余弦定理得****----222284c4ccos，即c+2c-24=03解得（舍去），=4c6c（2）有题设可得=，所以CADBADBACCAD261ABADsin261故△ABD面积与△ACD面积的比值为1ACAD21又△ABC的面积为242sinBAC23，所以ABD的面积为3.2.解：（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知PX2162000.290PX363000.4902574PX5000.4.90因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间20，,25，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n当200≤n300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。****----3.解：****----（1）由题设可得，ABDCBD,从而ADDC又ACD是直角三角形，所以ACD0=90取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO又由于ABC是正三角形，故BOAC所以DOB为二面角DACB的平面角222在中，RtAOBBOAOAB又ABBD所以,2222220BODOBOAOABBD，故DOB=90所以平面平面ACDABC（2）由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(1，0，0),B(0，3，0),C(1，0，0),D(0，0，1)由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，即E为DB的中点，得E310，，22.故311，0，1，2，0，0，1，，ADACAE22设n=x,y,z是平面DAE的法向量，则nnADAExz00，即310，xyz220****----可取n311=,,3****----设m是平面AEC的法向量，则mmACAE0，同理可得m0,1,30，则cosn,mnmnm77所以二面角D-AE-C的余弦值为774.解（1）设Ax1,y1,Bx2,y2,l:xmy2由xmy2y2x2可得2y2my40,则yy412又222yyyy1212x1=,x2=,故x1x2==4224因此OA的斜率与OB的斜率之积为yy12xx12-4==-14所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.（2）由（1）可得2y1+y2=2m,x1+x2=my1+y2+4=2m4故圆心M的坐标为mm，圆M的半径2+2，2+2，2222rmm由于圆M过点P（4，-2），因此APBP0,故x14x24y12y220即x1x24x1+x2y1y22y1y2200由（1）可得y1y2=-4，x1x2=4，所以22mm10，解得1m1或m.2当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为10，圆M的方程为22x3y110当1m时，直线l的方程为2xy40，圆心M的坐标为291，-42，圆M的半径为****----854，圆M的方程为229185++xy42165.解：（1）fx的定义域为0，+.①若a0，因为11=-+2＜0faln，所以不满足题意；22②若a＞0，由1f'xaxaxx知，当x0,a时，f'x＜0；当xa，+时，f'x＞0，所以fx在0,a单调递减，在a，+单调递增，故x=a是fx在x0，+的唯一最小值点.由于f10，所以当且仅当a=1时，fx0.故a=1（2）由（1）知当x1，+时，x1lnx＞0令1x=1+得n2111+＜ln，从而2n2n11111111++1+++1+＜+++=1-＜1lnlnln222n222n2n22故1111+1+1+＜222n2e而1111+1+1+＞223222，所以m的最小值为3.6.解：（1）消去参数t得l1的普通方程l1:ykx2；消去参数m得l2的普通方程1l:yx2k2ykx2****----设P（x,y）,由题设得1yxk2，消去k得2240xyy.所以C的普通方程为2240xyy****----（2）C的极坐标方程为rqqqpqp2cos2sin240＜＜2,2cos2sin240＜＜2,联立2224rcosqsinqrcosq+sinq-2=0得cosqsinq=2cosq+sinq.故1tanq，从而32921cosq=，sinq=1010代入rqq得r，所以交点M的极径为5.2cos2-