高等数学李伟版课后习题答案第五章

习题5—1(A)1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数)(xf仅在区间],[ba上有界，它在],[ba上未必可积，要使其可积，它在],[ba上必须连续；（2）如果积分baxxfd)(（ba）存在，那么nabinabafxxfninba)(limd)(1；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”)(f还是被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确．如狄利克雷函数cQxQxxD，，，01)(在区间][ba，（其中ab）上有界，但是它在区间][ba，上不可积，事实上：将][ba，任意分成n个小区间][1iixx，)21(ni，，，，（其中bxaxn，0）记第i个小区间长度为ix，先在][1iixx，上取i为有理数，则abxxDniiniii0000lim)(lim，再在][1iixx，上取i为无理数，则00lim)(lim0000niiniiixxD，对于i的不同取法黎曼和的极限不同，所以)(xD在区间][ba，上不可积；后者不正确，参见定理1.2．（2）正确．事实上：由于)(xf在区间][ba，上可积，则对][ba，的任意分法，i的任意取法，都有iniibaxfxxf)(limd)(10，现在对][ba，区间n等分，i去在小区间的右分点，则inabai，nabxi，并且0等价于n，所以iniibaxfxxf)(limd)(10nabinabafnin)(lim1．（3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等．（4）正确．它可以起到去掉积分号的作用))((d)(abfxxfba；也可以用来表示连续函数在区间][ba，上的平均值ab1)(d)(bafxxf，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算baxxfabd)(1.2．自由落体下落的速度gtv，用定积分表示前10秒物体下落的距离.解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程sbattvd)(，所以100dtgts．3．一物体在力)(xFF作用下，沿x轴从ax点移动到bx点，用定积分表示力)(xF所做的功W.解：将位移区间][ba，任意分成n个小区间][1iixx，)21(ni，，，，（其中bxaxn，0）记第i个小区间长度为ix，在][1iixx，上任取一点i，用)(iF近似代替物体从1ixx移动到ixx时所受的力，则物体从1ixx移动到ixx时所做的功近似为iiixFW)(，于是niiiniixFWW11)(，记}21max{nixi，，，，则baniiixxFxFWd)()(lim10（假定极限niiixF10)(lim存在）.4．用定积分的几何意义求下列积分值：（1）xxaaad22；（2）21dxx.解：（1）如图，上半圆的面积2/2aA，根据定积分几何意义Axxaaad22，所以，xxaaad222/2a．（2）如图，面积22/41A，2/12A，根据定积分几何意义2/3d2121AAxx，所以，21dxx2/3．5．若函数)(xfy在区间],[aa上连续，用定积分的几何意义说明：（1）当)(xf为奇函数时，0d)(aaxxf；（2）当)(xf为偶函数时，aaaxxfxxf0d)(2d)(.解：（1）如图1，当)(xf是奇函数时，由对称性，面积21AA，根据定积分几何意义，0d)(21AAxxfaa.（2）如图2，当)(xf是偶函数时，由对称性，面积21AA，根据定积分几何意义，aaaxxfAAAxxf0121d)(22d)(.6．比较下列各组定积分的大小：（1）xxId1021与xxId1032；（2）xxId211与xxId2132；（3）xxIdsin201与xxIdsin2031；（4）xxIdln531与xxId)(ln2532.解：（1）因为在区间]10[，上32xx，所以xxd102xxd103，即21II．（2）因为在区间]21[，上3xx，所以xxd21xxd213，即21II．（3）因为在区间]2/0[，上xx3sinsin，所以xxdsin20xxdsin203，即21II．（4）因为在区间]53[，上2)(lnlnxx，所以xxdln53xxd)(ln253，即21II．7．估计下列定积分的值：（1）20d)sin2(xxI；（2）10darctanxxI；（3）212d1xxxI；（4）202)d32(xxxI.解：（1）设xxfsin2)(，在区间]20[，上显然有3)(1xf，又，1)2/3(f3)2/(f，于是函数)(xf在区间]20[，上的最小值为1m，最大值3M，而区间长度2ab，根据)(d)()(abMxxfabmba，得62I．（2）设xxfarctan)(，由于函数)(xf在区间]10[，上单调增加，于是)(xf在区间]10[，上的最小值为0)0(fm，最大值4/)1(fM，而区间长度1ab，根据)(d)()(abMxxfabmba，得4/0I．（3）设21)(xxxf，则222)1(1)(xxxf，在区间]21[，上0)(xf，于是函数)(xf在区间]21[，上单调减少，所以)(xf在区间]21[，上的最小值为2/5)2(fm，最大值2/1)1(fM，而区间长度1ab，根据)(d)()(abMxxfabmba，得2/15/2I．（4）设32)(2xxxf，则22)(xxf，有0)(xf，在区间)20(，内得驻点1x，又3)2(2)1(3)0(fff，，，所以函数)(xf在区间]20[，上的最小值为2)1(fm，最大值3)2()0(ffM，而区间长度2ab，根据)(d)()(abMxxfabmba，得64I．8．证明下列不等式：（1）xxxxdcosdsin4040；（2）xxxxd)1(de1010.证明：（1）在区间]4/0[，上显然有xxcossin，所以xxxxdcosdsin4040.（2）设xxfx1e)(，在区间]10[，上，01e)(xxf，于是函数)(xf在区间]10[，上单调增加，从而0)0()(fxf，即在区间]10[，上xx1e，所以xxxxd)1(de1010.习题5—1(B)1．右图给出了做直线运动的某质点在0到9s内的速度图象，求它在这段时间间隔内所走的路程.解：质点在0到9s内所走的有效路程为阴影面积的代数和，即2810d)(90ttv（单位）；质点在0到9s内所实际走的路程为阴影面积的和，即18810d)(90ttv（单位）2．用定积分中值定理求下列极限：（1）xxxxnnnd2lim82；（2）xxxnnnd1arctanlim1．解：（1）由定积分中值定理，nnnnnnnxxxx26d282（其中82n），于是3/126lim26limd2lim182nnnnnnnnnnnnxxxx．（2）由定积分中值定理，nnnnxxx1arctand1arctan1（其中1nnn），由1nnn，有n等价于n，于是11lim1arctanlimd1arctanlim1nnnnnnnnnxxx．3．若函数)()(xgxf，在区间][ba，（ba）上连续，)()(xgxf，且)(xf不恒等于)(xg，证明babaxxgxxfd)(d)(．证明：设)()()(xfxgxF，由题目条件知，在区间][ba，上函数)(xF连续且0)(xF又不恒等于零，于是有0x][ba，，使得0)(0xF，由连续函数的性质，0，在区间][][00baxx，，内恒有2/)(xF，设区间][][00baxx，，][21cc，（12cc），所以02/)(/2dd)(d)(122121ccxxxFxxFccccba，即0]d)()([baxxfxg，再由定积分的线性性，得babaxxgxxfd)(d)(．4．证明下列不等式：（1）4/1022e2dee22xxx；（2）211d22110nxxx（其中n是正整数）.证明：（1）设xxxf2e)(，则xxxxf2e)12()(，由0)(xf，在区间)20(，内得驻点2/1x，又24/1e)2(e)2/1(1)0(fff，，，于是函数)(xf在区间]20[，的最小值为4/1em，最大值为2eM，从而4/1e2220e2de2xxx，因为02de2xxx20de2xxx，所以4/1022e2dee22xxx．（2）在区间]10[，上显然有xxxxn12，且等号不恒成立，而函数nxxx12、、x都连续，根据本节习题（B）3，有101010d1dd2xxxxxxxn，而由定积分的几何意义得21d10xx，221d21d21010xxxx，所以211d22110nxxx．习题5—2(A)1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）在定理2.1的证明中，被积函数连续的条件是不可缺少的；（2）若()fx连续、)(x可导，则)(0d)()(xttfxF的导数等于被积函数在上限处的值；（3）在()fx连续、)(x及)(x可导时，通过将)()(d)()(xxttfxF化成两个变上限定积分，可求得()(())()(())()Fxfxxfxx；（4）使用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到被积函数在积分区间上的一个原函数，然后求该原函数在积分区间上的增量．答：（1）正确．定理的证明中两次用到连续性，一次是使用定积分中值定理时，再一次是最后求极限时．（2）不正确．应该是)()]([)(xxfxF，即被积函数在上限处的值与上限处函数)(x的导数之积．（3）正确．将函数)(xF改写为)()(d)(d)()(xaxaxxfxxfxF，再根据（2）求导．（4）正确．这就是牛顿—莱布尼兹公式)()(d)(aFbFxxfba（其中)(xF是)(xf在区间][ba，上的一个原函数），但是要注意被积函数的连续性，对分段函数（或分区间连续函数）要分区间求．2．计算下列定积分：（1）xxxd)123(1024；（2）xaxaxad))((0；（3）xxxd)11(94；（4）xxd1123；（5）xxxd12134；（6）33/121dxx；（7）xxxd31102；（8）21021dxx；（9）xxd)sin21(0；（10）xxdtan302（11）40sin1dxx；（12）xxdcos0；（13）xxxd12202；（14）xxfd)(20，其中.11e)(xxxxfx，，，解：（1）15