线性代数ppt 第五章 二次型

第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示§5.2§5.3二次型的系统研究是从18世纪开始的起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论主要内容：一、二次型及其矩阵表示二、标准形的定义,二次型化为标准形三、矩阵合同的定义一.二次型(quadraticform)的定义第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示n元实二次型1222212111222121213131,1,,,,,,222nnnnnnnnnnxxxfxxxaxaxaxaxxaxxaxx含有个变量的二次齐次函数（1）称为。二次型,2,ijijijijjiijijjiaxxaxaxaaxx则于是（1）取式可写成2111121211221212222221122,1.nnnnnnnnnnnnijijijfaxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxx（2）第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示11121121222212,,nnnnnnnaaaxaaaxAxaaax记,(3).TfxAxA则二次型可记作其中为对称矩阵f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2112231,13xxxx=此时A称为二次型f的矩阵,f称为对称矩阵A对应的二次型.对矩阵A的秩叫做二次型f的秩.第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示二次型与它的矩阵是一一对应的(1)二次型f=3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3f的矩阵A=31213-22-20,则二次型f=x12+x22+x322x1x3(2)f的矩阵A=101010101,第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示(y1,y2,…,yn)k10…00k2…0…………00…kny1y2…yn11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy，，令（4）定义2221122nnfkykyky若将(4)代入(1），使，二.二次型的标准型这种只含平方项的二次型称为标准型的二次型x=Pny第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=g(y)对n阶对称矩阵A,寻求可逆矩阵P,使得寻求可逆的线性变换x=Py,使得二次型化成标准型PTAP=k10…00k2…0…………00…kn第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示三.矩阵的合同An与Bn合同(congruent):可逆矩阵P,使得PTAP=B.矩阵间的合同关系也是一种等价关系.记为:AB.(1)反身性:AA;(2)对称性:ABBA;(3)传递性:AB,BCAC.定理5.1.实对称矩阵与对角矩阵合同.作业P1511.(B)1(1),(3);2第五章二次型§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形定理5.2.对于任何一个n元实二次型f=xTAx,都有正交变换x=Qy,使f化为标准形f=1y12+2y22+…+nyn2,其中1,2,…,n为A的n个特征值,Q的列向量就是A的对应的n个单位正交特征向量.正交变换下的标准形一.用正交变换化实二次型为标准形将定理5.1换成二次型的语言Theo5.4§5.2化二次型为标准形第五章二次型例1.用正交变换把将二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x322x1x3化为标准形.|E–A|=(–1)(–2).所以A的特征值为1=0,2=1,3=2.代入(E–A)x=0求得对应的特征向量1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,–1)T.它们是两两正交的.解:f的矩阵A=101010101,§5.2化二次型为标准形第五章二次型所以A的特征值为1=0,2=1,3=2.代入(E–A)x=0求得对应的特征向量1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,–1)T.它们是两两正交的.把它们单位化可得正交矩阵Q=0100,222211110令x=Qy,得该二次型的标准形为f=y22+2y32.§5.2化二次型为标准形第五章二次型二.用配方法(squaremethod)化实二次型为标准形例2.用配方法化f=4x12+3x22+3x32+2x2x3为标准形.解:f=4x12+3x22+3x32+2x2x3)(342332322221xxxxx2323912391323222213])[(34xxxxxxx23382331221)(34xxxx令111222333yxyxxyx则f=4y12+3y22+(8/3)y32.第五章二次型§5.3正定二次型§5.3正定二次型一.惯性定理(InertiaLaw)设二次型f=xTAx,它的秩为r,若有两个可逆变换x=Cy及x=Pz使f=k1y12+k2y22+…+kryr2及f=λ1z12+λ2z22+…+λrzr2则k1,k2,…,kr中正数的个数与λ1,λ2,…,λr中正数的个数相等.定义:二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数,负系数的个数称为二次型的负惯性指数.第五章二次型§5.3正定二次型例如f=2x1x2+2x1x3–6x2x3在两种不同的可逆线性变换下可分别化为下列标准形:f=2z12–2z22+6z32.6223222121yyyf可见秩(f)=3,f的正惯性指数p=2,f的负惯性指数q=1.若二次型f的正惯性指数为p,秩为r,则f的规范形便可唯一确定为f=y12+…+yp2-yp+12-…-yr2.二次型f的规范形第五章二次型§5.3正定二次型二.二次型的正定性1.定义:f(x)=xTAxx0f(x)0实二次型f(x),A正定x0f(x)0f(x),A负定例如:(positivedefinite)(negativedefinite)(1)222123123f(x,x,x)=2x+3x+x(2)222123123f(x,x,x)=3x+x-x(3)2212312f(x,x,x)=2x+x第五章二次型§5.3正定二次型30秒回答问题(1)An,Bn正定,则An+Bn正定矩阵?(2)A正定,P可逆，则PTAP正定?命题5.1:二次型f(y1,y2,...,yn)=d1y12+d2y22+…+dnyn2是正定的i,di0命题5.2:可逆线性变换不改变二次型的正定性命题成立命题成立正惯性指数p=n第五章二次型§5.3正定二次型2.判定定理定理5.4.设A为n阶实对称矩阵,则TFAE:…,2=a11a12a21a22,1=a11,均大于零.n=|A|(1)A是正定矩阵;(2)A的正惯性指数为n;(3)A的特征值均大于零;（见定理5.2）(4)A与E合同;(5)存在可逆矩阵P,使得A=PTP;(6)A的各阶顺序主子式(principalminors)第五章二次型§5.3正定二次型例3:判定下列二次型的正定型22212312313(,,)2454fxxxxxxxx202040205A12022080043det240A解故f为正定矩阵.法1法2(1)(4)(6)0EAλ1=1,λ2=4,λ3=6均大于零，故f为正定矩阵.第五章二次型§5.3正定二次型第五章小结本章主要内容(1)二次型矩阵表示(2)标准二次型、规范二次型(3)将二次型化为标准形(4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序主子式判定作业：P1527(1);20(1)AugustinLouisCauchy•Born:21Aug1789inParis,France•Died:23May1857inSceaux(nearParis),France•Born:3Sept1814inLondon,England•Died:15March1897inLondon,EnglandJamesJosephSylvester