绝对值三角不等式及其应用

绝对值不等式复习回顾：我们知道,一个实数a的绝对值的意义:⑴(0)0(0)(0)aaaaaa;（定义）关于绝对值还有什么性质呢?①2aa②abab,aabb,……绝对值三角不等式实数a的绝对值|a|的几何意义是：表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：OaAx|a|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是：根据绝对值的定义，实数a的绝对值|a|有明确的几何意义：A、B两点间的距离即线段AB的长度。联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：分ab0和ab0两种情形讨论：（1）当ab0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b（2）当ab0时，也分为两种情况：如果a0,b0，如下图可得：|a+b||a|+|b|Obaxa+b如果a0,b0，如下图可得：|a+b||a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b|定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。探究如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？x如果把,ab换为向量,ab，根据向量加法的三角形法则,易知abab≤.(同向时取等号)abababab为了更好地理解定理1，我们再从代数推理的角度给出证明由于定理1与三角形之间的这种关系，我们称|a+b|≤|a|+|b|这个不等式为绝对值三角不等式。已知,ab是实数，试证明：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）证明:10.当ab≥0时,||,||()||||||||(||||)||||22222222ababababaabbaabbabab20.当ab0时,||,||()||||||||||||||(||||)||||22222222222ababababaabbaabbaabbabab综合10,20知定理成立.定理1的代数证明：探究你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|以上讨论了关于两个实数的绝对值不等式，这是最基本、最重要的绝对值不等式。根据这样的思想方法，我们可以讨论涉及多个实数的绝对值不等式问题定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。yxDyxCyxBmymx.2.2.y-xA.)(,,:的是下列不等式中一定成立若例B绝对值三角不等式的应用例1已知ε0,|x-a|ε,|y-b|ε,求|2x+3y-2a-3b|5ε证:证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2ε+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|5ε.例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。·10·x·20