《计数的基本原理》

10.1计数的基本原理常州火车1火车2火车3汽车1汽车2盱眙汽车1汽车2淮安常州火车1火车3火车2盱眙问题1：从甲地到乙地，旱路有3条，水路有2条，问从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从图中容易找到答案：从甲地到乙地共有3+2=5种不同的走法。甲乙找一找问题2.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有2班,汽车有3班，轮船有4班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?想一想？分析:完成由甲地到乙地这件事有三类办法：第一类办法乘火车，有2种不同走法，第二类办法乘汽车，有3种不同走法第三类办法乘轮船，有4种不同走法。因此，在一天中，此人由甲地到乙地不同的走法共有2+3+4=9种。乙地甲地一、分类计数原理如果完成一件事，有n类办法。在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有关键词是“分类”，各类办法之间相互独立,每种方法都能单独的完成这件事，要计算所有方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理。说明N=m1+m2+…+mn种不同的方法计数的基本原理例1书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本，下层有不同的物理书7本。现要从书架上任取一本书，问有多少种不同的取法？解：根据分类计数原理，不同的取法共有N=m1+m2+m3＝15+18+7=40（种）。分析：从书架上任取一本书，有三类取法：第一类，从上层取一本数学书，有m1=15种取法第二类，从中层取一本语文书，有m2=18种取法第三类，从下层取一本物理书，有m3=7种取法无论哪一类方法，任务都可完成，符合分类计数原理。即有40种不同的取法。口答题：1.一项工作可以用2种方法完成，有5人会用第一种方法，另外4人会用第二种方法，要选出1个人来完成这件工作，共有多少种不同的选法？2.一个口袋内有6个不同的黑球，4个不同的白球，5个不同的红球，从中任取一个球，共有多少种不同的取法？试一试N＝5+4＝9（种）N＝6+4+5＝15（种）问题3、由A村到B村的路有3条，由B村到C村的路有2条，问从A村经过B村到达C村共有多少种不同的走法？从图中可看出共有3×2=6种不同的走法。问题1和问题3的共同之处是：它们都研究完成一件事共有多少种不同的方法？这两个问题的不同点是完成工作的方式不同。问题1中的每条旱路或水路都可以从甲地直接到达乙地，其中旱路和水路只不过是完成从甲地到乙地这件工作的两类不同的办法。（分类）问题3中的5条路的任意一条路都不能把从A村经B村到C村这件工作做完，它的工作是分两个步骤完成；第一步从A村到达B村；第二步从B村到达C村。（分步）ABC找一找比一比a1a2a3b1b2二、分步计数原理如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有关键词是“分步”，各个步骤相互关联,任何一步都不能单独完成这件事情,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理。说明N=m1×m2×…×mn种不同的方法计数的基本原理例2、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。例3：体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每位数若是0~9这十个数字中任一个，则每次摇奖产生的号码有多少种可能？10=107101010101010××××××第一位第二位第三位第四位第五位第六位第七位变１：这十个数字一共可以组成多少个７位数？9××××××101010101010百万十万万千百十个=9×10６例3:体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每位数若是0~9这十个数字中任一个，则产生中奖号码所有可能的种数是多少？变2：0~9这十个数字可组成多少数字不重复的七位数？××××××９９８７=544320６５４百万十万万千百十个试一试4.把3封不同的信投到2个不同的信箱中，共有多少种不同的投法？N＝2×2×2＝8（种）3.某商业大厦有东、西、南3个大门，某人从一个门进从另一个门出，共有多少种不同的走法？N＝3×2＝6（种）口答题：练一练1.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？N=26+10=36（种）2.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同取法?N＝4×3×2＝24（种）分类计数原理和分步计数原理有什么联系和区别？讨论加法原理乘法原理联系区别一完成一件事情共有n类办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个步骤，关键词是“分步”区别二每类办法都能单独完成这件事情。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能单独完成这件事情，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于“完成一件事情”的“不同方法”的种数的问题。区别三各类办法是并列的、独立的各步之间是相互关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：小结课后作业关于涂色问题的探究问题背景：数学史上著名的“四色问题”．1852年弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上严格证明呢？这个猜想引起了很多数学家的极大兴趣，但在这之后的100多年期间，他们都没有能严格的证明其正确性，终于在1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色问题的证明。有条件的同学上网查阅更多关于四色问题的介绍数学来源于生活生活离不开数学10.1计数的基本原理一.分类计数原理(加法原理)N=m1+m2+…+mn二.分步计数原理（乘法原理）N=m1×m2×…×mn两个计数原理的联系和区别：