椭圆及其性质知识点梳理及经典高考题解析

1椭圆及其性质【考纲说明】1.掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程；2.掌握椭圆的简单几何性质【知识梳理】知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac2．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；3．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(ba和222bac；4．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0,(c；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c，),0(c知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质（1）2对称性：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、原方程都不变，所以椭圆12222byax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1aA，)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB③线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221,bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。②因为)0(ca，所以e的取值范围是)10(e。e越接近1，则c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）)2(21aPFPF；ePMPFPMPF2211；)2(221caPMPM；（2）)(21aBFBF；)(21cOFOF；2221baBABA；（3）caFAFA2211；caFAFA1221；caPFca1；3规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义椭圆标准方程中，cba,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：显然：cba,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程均不为零）CBACByAx,,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCAx，即122BCByACx，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：①若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称；②若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；③若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。48．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相结合的方法进行计算解题。将有关线段2121FFPFPF、、，有关角21PFF(21PFF21BFF)结合起来，建立21PFPF、21PFPF之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(eace，因为222bac，0ca，用ba、表示为)10()(12eabe。显然：当ab越小时，)10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。【经典例题】1求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为105，则椭圆方程为____________（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1yx交椭圆于,PQ两点，若0OPOQ，且102PQ，则椭圆方程为_____________________【解】（1）由已知：105bcac，又222abc，故求得：105ab。所以，椭圆方程为：221105xy（2）设椭圆方程为：2210,0AxByAB，且设11(,)Pxy，22(,)Qxy，PQ的中点为00(,)Mxy。由已知：OPOQ，所以11024OMPQ，即有：2200104xy，又001yx，求得：001434xy或003414xy。联立2211AxByyx，消去y,得：2()210ABxBxB，5【例2】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,FF，斜率为k的直线过右焦点2F与椭圆交于,AB两点，与y轴交于点M点，且22MBBF（1）若26k，求椭圆离心率的取值范围（2）若26k，且弦AB的中点到右准线的距离为10033，求椭圆的方程则有:244()10BABB，即ABAB。由韦达定理可得：122BxxAB，从而有121222AyyxxAB，易知：1202xxx，1202yyy，所以212232BABAAB或232212BABAAB，解之得：3212AB或1232AB。故椭圆方程为：223122xy或223122xy。【解】（1）设椭圆方程为：222210xyabab，2,0Fc则直线AB的方程为：()0,ykxcMkc由22MBBF，可求得：2,33ckcB代入椭圆方程，并整理得：222294bckca而cea且222bac，故有：2221194kee由已知：2024k得：221019424ee考虑到01e，故求得：112e（2）由（1）可知，当26k时，122ceaca故椭圆方程可化为：2222143xycc6【例3】已知椭圆的中心在原点O，短轴长为22，右准线交x轴于点A，右焦点为F，且2OFFA，过点A的直线l交椭圆于,PQ两点（1）求椭圆的方程（2）若0OPOQ，求直线l的方程（3）若点Q关于x轴的对称点为Q，证明：直线PQ过定点（4）求OPQ的最大面积【解】（1）2263,0cbaA，，，椭圆方程为：22162xy（2）设直线l的方程为：3xky，且设1122,,,PxyQxy联立221623xyxky消去x，得：223630kyky则12122263,33kyyyykk从而求得：212122218627,33kxxxxkk由0OPOQ得：12120xxyy，求得5k所以l的方程为：530xy（3）有已知及（2）知：22,Qxy。设直线PQ与x轴交于点,0Mm则有1212211212yyxyxymxmxmyy由（2）可知：112233xkyxky联立2222143()xyccykxc消去y得：23364280xcxc设AB的中点为00,Mxy，则12032233xxxc易知：椭圆的右准线为：4xc，于是32100413333ccc故椭圆方程为：22143xy7所以12121212122323kyyyykyymyyyy又由（2）知：121212yyyyk，所以132m，即2,0M故直线PQ过定点2,0，即为椭圆的右焦点（4）由（1）得：2302k221222233613612222333OPQkkSOAyykkk令2302ktt，则36392OPQStt当且仅当332t，即6k时，取“”所以OPQ的最大面积为32椭圆的性质【例4】已知椭圆222210xyabab的两个焦点分别为1,0Fc，2,0Fc，在椭圆上存在一点P，使得120PFPF（1）求椭圆离心率e的取值范围（2）当离心率e取最小值时，12PFF的面积为16，设,AB是椭圆上两动点，若线段AB的垂直平分线恒过定点(0,3)Q。①求椭圆的方程；②求直线AB的斜率k的取值范围。【解】（1）设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得：0121290FBFFPF所以0245OBF，从而2tan1OBF，即221ccbb，又222bac，所以222cac，得：2212ca，所以2,12e。（2）①当e取得最小值22时，P在短轴顶点，所以1216PFFSbc，又2222,2cabca，故求得：42,4,4abc。所以椭圆方程为：2213216xy8②【法一：点差法】设1122,,,AxyBxy，设AB的中点为00,Mxy，则2211121212122222132160321613216xyxxxxyyyyxy121212122yyxxxxyy即002xky①由已知AB的垂直平分线方程为：13yxk易知点00,Mxy在该直线上，所以0013yxk②由①，②可求得：00233xky即23,3Mk由已知：点M在椭圆