高二数学向量的坐标表示及其运算

(二期课改)**实数与向量的乘积的意义:*实数λ与非零向量的乘积是一个向量,记作:a.aλ*对向量的模和方向规定如下:aλ;(1)aλaλ(2)当时,与的方向相同;0λaλa当时,与的方向相反;0λaλa(3)当时,;0λ0a0(4)任何实数λ与零向量的乘积为零向量..00λ*两个非零向量平行的充要条件:)(,0λaλbb//aaa3**单位向量的定义及其计算公式:.aa0a*把模为1的向量叫做单位向量.*对于任意的非零向量,与它同方向的单位向量叫做向量的单位向量.记作:aa.0a*单位向量的计算公式:*提示:*有于向量的基础知识的具体内容可以阅读课本后(P137)的附录部分.**向量作为一种常见的数学概念.它是即有大小又有方向的.前面已学习了其“形”的相关知识,本节开始就要研究其“数”的相关知识---向量的坐标.*1.基本单位向量的意义:在平面直角坐标系内,方向与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量就叫做基本单位向量.分别记作为:*问题?如何用基本单位向量来表示任意一个向量呢?a.和jiOYX11ij*2.位置向量的定义:OYX11ijaAa对于平面内的任意向量,可将向量的起点置于坐标原点O,作,那么就叫做位置向量.aaOAOA我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量时，会为我们研究问题带来方便。yxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。i*3.任意向量的坐标的意义:由平行四边形法则可得:*感悟:有序实数对(x,y)记作:OYX11ijaA(x,y)M(x,0)N(0,y);ONOMOAa;;jyONixOM;jyixOAa.,y)(x任意向量a(平移)位置向量;jyixOA(唯一确定)向量的坐标.a.y)(xa,*1.向量的正交分解表示法:.jyixOAa*2.向量的坐标表示法的具有唯一性,确定性;*3.向量的坐标与其终点的坐标是形同而意不同,应注意加以区分;*4.由向量的坐标的意义,容易得知:.,;,;,0)(001)(0j0)(1i*4.向量运算的坐标运算法则.*若设:λ是一个实数,.,,,)y(xb)y(xa2211*利用向量的正交分解法与坐标法的相互转换,容易证明:.,,,)yyx(x)y(x)y(xba21212211.,,)yx()y(xa1111*5.向量模的计算公式:.2211yxa由上述法则实现了由向量的作图法运算(形)转化为向量的坐标法运算(数),化繁为简.*感悟:*(向量坐标的探求问题)**策略:如图所示,写出向量的坐标.cba,,OYX112-2-12-1-2acbAB*例题1:**探求一个任意向量坐标可以通过其对应的位置向量求得.*问题?对于直角坐标平面内的任意两点P,Q,如何利用点P和点Q的坐标来表示出向量坐标?PQ重庆皮肤病医院重庆皮肤病医院哪家好仧莒犸*5.直角坐标系内任意向量坐标计算公式.OYXP(x1,y1)Q(x2,y2)OQPQOPOPOQPQ)y(x)y(x1122,,)y-yx-(xPQ1212,*注意:*任意向量坐标等于终点坐标减去起点坐标.*并有:.,0)(0PP0*例题2:如图,平面上三个点A,B,C,的坐标分别为:(2,1),(-3,2),(-1,3).(2)若四边形ABCD是平行四边形,求D的坐标.(1)写出向量的坐标;BCAC,OYXA(2,1)B(-3,2)C(-1,3)D(x,y)*本例是向量坐标计算公式的应用问题.体会向量坐标表示法能使解题过程简便易行.*感悟:*问题?题(2)改为若A,B,C,D四点构成平行四边形的四个定点,结果又如何?*例题3:*感悟:本例是利用坐标法进行向量运算的,简单方便.当然也可利用正交分解法进行验证.已知向量求的坐标.2).(5b1)(4a,,,b3a2*例题4:已知平面内两点P,Q的坐标分别为(-2,4)和(2,1).求的单位向量.0aPQ*总结:求任意向量的单位向量的方法步骤为:①确定任意向量的坐标;y)(xa,②计算模;22yxa③计算y).(x,yx1a220**课本P57:练习8.1(1):1,2,3;*提示:代数法证明三点共线的充要条件是:的公共点与为BCACCBC//AC请根据你在这节课所学的知识谈谈你的收获与体会.