高中数学求函数最值方法

广西师范学院2009届本科毕业论文2009届本科毕业论文（设计）题目中学数学中最值的求法学院名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学号0511010203学生姓名王晓刚指导教师姓名（职称）苏华东（讲师）教务处制二〇〇九年六月中学数学中最值的求法22009届本科毕业论文题目：中学数学中最值的求法系（院）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学专业学生姓名王晓刚学号0511010203指导教师姓名（职称）苏华东（讲师）教务处制二〇〇九年六月广西师范学院2009届本科毕业论文目录摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1前言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11函数最值的有关概念．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．31.1函数极值的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．31.2函数最值的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．31.3函数最值与极值的关系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．32函数最值的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．43函数最值的求法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．43．1配方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．43．2分离常数法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．53.3单调性法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．53.4判别式法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．63.5均值不等式法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．73.6“强行”配方法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．83.7分类讨论法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．93.8利用三角函数的有界性．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．113.9几何法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．133.10数形结合法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．143.11反解法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．153.12换元法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．153.13导数法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16结束语．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16声明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17广西师范学院2009届本科毕业论文1中学数学中最值的求法数学与应用数学专业王晓刚［摘要］函数最值在中学数学中具有举足轻重的地位，本文先介绍了函数最值的概念，然后讲解了函数最值重要性，最后重点讲解了函数最值的求法．本文就中学数学中常见的求函数最值的方法做了系统总结，它们分别是配方法，分离常数法，单调性法，判别式法，均值不等式法，“强行”配方法，含参二次函数最值的求法，三角函数最值的求法，几何法，数形结合法，换元法，反解法，导数法，并且对每种解法的特征，适用类型都通过例题给予了说明，希望能给大家的学习和工作有所帮助．［关键词］求最值；配方法；分离常数法；单调性法；判别式法；均值不等式法．ConstrainedandUnconstrainedOptimizationoftheMiddleSchoolMathematicsandappliedMathematicsWANGXiao-GangAbstract:Themaximumandminimumoffuctionplayanimportantroleinmathematicofthemiddlesholl，thethesisgivesconceptofConstrainedandUnconstrainedOptimization，andthengivestheimportanceofConstrainedandUnconstrainedOptimization，lasttellsConstrainedandUnconstrainedOptimizationparticularly．thethesisgivesasummarizationformethedofmaximumandminimuminmathematicofthemiddleshool，theyarethemethodofformulatingsquare，Separationmethodofconstant，themethodofmonotonicity，themethodeofdiscriminant，Averageinequality，forcedmethod，andthemethodofcalculatingthevalueofquadraticfunctionandthemethodofcalculatingthevalueoftrigonometricfunction，geometricmethod，combinationofnumbergraphics，methodofsubstitution，themethodofinversesolution，derivativemethod，Andthecharacteristicsofeachmethod,suitabletypesareexplainedthroughexamples,Hopeitcanhelpourstudyandwork．Keywords：Maximumandminimum；Themethodofformulatingsquare；Separationmethodofconstant；Themethodofmonotonicity；Themethodofdiscriminant；Averageinequality．前言新世纪以来，学生实践能力的重要性被日益重视，作为函数实践能力重要体现的函数应用题在高考中所占的分量越来越大，函数最值的应用也越来越重要，为适应这种需要，一批老师结合自己的教学经历和教学经历，写出了一些比较有价值的文章，一些学者参考老师的文章，同时结合自己的研究成果，也写出了一些含金量比较高的文章．张连友的《二次函数最值求法例谈》对二次函数最值的求解给出了较为详尽和具体中学数学中最值的求法2的解法，他把二次函数最值的求解分为四种类型：(1)轴定区间定（2）轴定区间动（3）轴动区间定（4）轴动区间动，这四种类型基本上涵盖了所有类型的二次函数最值的求解，王富源的《函数最值求法举隅》，实际上是给出了三角函数最值的求解方法，他把三角函数最值的求解方法分为6种：（1）利用弦的有界性（2）万能置换法（3）部分分函数法（4）利用函数的单调性（5）利用斜率公式（6）利用定比分点坐标公式，王富源对同一道题用这6种方法给与了解答，在一定程度上培养了学生的发散思维，梁克强，罗建宇，毛仕理的论文又从其他方面对三角函数最值的求解给出了较为系统的总结，在一定程度上使三角函数最值的求法更为完善和系统．潘德党的《浅谈函数最值求法》，给所有函数最值的求解给出了较为详尽的总结，总起来说，他把函数最值的求解分为10种，它们分别是（1）观察法（2）配方法（3）判别式法（4）利用二次函数性质法（5）利用基本不等式法（6）利用函数单调性（7）利用函数的有界性（8）数形结合法（9）换元法（10）导数法，这10种方法基本上涵盖了所有函数最值的求解，作者的讲解语言也比较具体，清楚，举的例子也比较恰当，在一定程度上给老师的讲解提供了模板，给学生的学习提供了参考，可以说，潘德党的这篇论文写得相当及时．以上各种提法，在一定程度上涵盖了函数最值的常用求法，在一定程度适应了老师和学生的学习需要，但是，这些讲解要么是对函数某一类型最值求法的讲解，缺乏系统性，完整性，有些虽然是对所有函数最值方法的总结，但由于受篇幅和其他因素的影响，总结还是不尽完善，因此，有必要也必须对函数最值的求解来一个系统和完善的总结，只有这样，才能适应函数教学的需要，才能适应学生素质教育的需要．1函数最值的有关概念在介绍函数最值的概念前，我们先给出函数函数极值的概念．1.1函数极值的定义定义1．设函数)(xf在点0x的某邻域)(0xU内有定义，如果对于去心邻域)(00xU的任一x，有)()(0xfxf（或)()(0xfxf），那么就称)(0xf是函数)(xf的一个极大值（或极小值）．]1[广西师范学院2009届本科毕业论文3函数的极大值和极小值统称为函数的极值．由费马定理可知，如果函数)(xf在点0x处可导，且)(xf在0x处取得极值，那么0)(0'xf．这就是可导函数取得极值的必要条件．怎样判定函数在驻点或不可导的点处究竟是否取得极值？如果是的话，究竟取得极大值还是极小值？下面给出两个判定极值的充分条件．定理1（第一充分条件）设函数)(xf在点0x处连续，且在0x的某去心邻域),(00xU内可导．（1）若),(00xxx时，0)('xf，而),(00xxx时，0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值．（2）若),(00xxx时，0)('xf，而),(00xxx时，0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值．（3）若),(00xUx时，)('xf的符号保持不变，则)(xf在0x处没有极值．定理2（第二充分条件）设函数)(xf在点0x处具有二阶导数且0)('xf，0)(''xf，那么(1)当0)(''xf时，则)(xf在0x处取得极大值．（2）当0)(''xf时，则)(xf在0x处取得极小值．1.2函数最值的定义定义2．对于在区间I上有定义的函数)(xf，如果有Ix0，使得对任一Ix，都有)()(0xfxf（或)()(0xfxf），则称)(0xf是函数)(xf在区间I上的最大值（或最小值）．由最大最小值定理可知，)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上必存在最大值和最小值，由函数的连续性可知，基本初等函数，初等函数必连续，而中学研究的函数基本上全是初等函数，因此必连续，故它们在闭区间上必存在最值．1.3函数最值与极值的关系函数的最大（小）值不一定是极大（小）值，极大（小）值也不一定是最大（小）值，因为最大（小）值也可能在端点值取得，如例25．中学数学中最值的求法42函数最值的应用函数最值在日常生活，工农业生产，工程技术及科学实验中都有着广泛的应用，请看下面