《微积分基本定理》上课用

复习回顾定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fkbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.微积分基本定理学习目标1：知道微积分基本定理。2：在熟记积分公式和法则的基础上会计算简单的定积分。定理（微积分基本定理）如果()fx是在区间],[ba上的连续函数,并且()(),Fxfx，则)()()(aFbFdxxfba.牛顿—莱布尼茨公式记:()()()|baFbFaFx则:()()|()()bbaafxdxFxFbFaf(x)是F(x)的导函数F(x)是f(x)的原函数注意:1.当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.2.若()(),()()FxfxFxfx则称为的一个原函数3.牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．()()|()()bbaafxdxFxFbFa用公式和法则找出f(x)的原函数是关健基本初等函数的导数公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa'n'n-1''x'xx'x'a'若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e1若f(x)=logx，则f(x)=xlna1若f(x)=lnx，则f(x)=x11(1)(1)1bbnnaaxdxxnn(3)bbxxaaedxe1(4)lnbbxxaaadxaa12)ln(,0)bbaadxxabx(5)sincosbbaaxdxx(6)cossinbbaaxdxx12)ln()(,0)bbaadxxabx常用积分公式1(2)lnbbaadxxx例1计算下列定积分211(1)dxx解（１）∵1(lnx)=xlnlnbabbaa1公式1:dx=lnx|x31(2)2xdx3221|318321(2)2xdx=x21=lnx|=ln2-ln1=ln2211dxx练习：101013023-1(1)1dx=______(2)xdx=______(3)xdx=______(4)xdx=______nxn+1bbaax公式2:dx=|n+111/21/415/4步骤1：将被积函数化为幂函数，正弦函数，余弦函数，指数函数与常数的和或差。2：用性质把积分化为若干积分和与差。3：找原函数，用牛顿莱布尼兹公式。4：计算求解。3'2(),()3FxxFxx()()|()()bbaafxdxFxFbFa解:(1)取2'()4,()24FxxxFxx解:(2)取5223(5)(2)117xdxFF50(24)(5)(0)5xdxFF找出f(x)的原函数是关健例2计算下列定积分321(1)3xdx50(2)(24)xdx解:(3)∵32211()3,()xxxx32332111176(3-)(3)(1)313xdxx例3计算下列定积分32211(3)(3-)xdxx32211()3,xxxx例3．计算下列定积分20(2)cosxdx0(1)sinxdx解（1）∵'(cos)sinxx0sincos(cos0)112xdx思考:0sinxdx的几何意义是什么?2020sin_______sin_______xdxxdx0120(2)cosxdx20cossinsin01012xdx'(sin)cosxx解思考:20cosxdx的几何意义是什么?020cos_______cos_____xdxxdx__00完成课后练习和习题55页例4计算20(),fxdx2,01()5,12xxfxx其中解20dx)x(f102xdx215dx102x215x612Y=5的解析式求且点是一次函数，其图象过、已知)(,1)(),4,3()(110xfdxxfxf微积分与其他函数知识综合举例：练一练：已知f(x)=ax²+bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,的值求cbadxxf,,,2)(10微积分基本公式bafxdxFbFFaxfx'()()())((())小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．.d)(,0,21,0,1)(21xxfxxxxxf求已知利用定积分的几何意义，可分别求出，21d)1(01xx.23121d)(21－xxf例1，200121d)21(d)1(d)(xxxxxxf解，1d)21(20xxA．6B．4C．3D．2[答案]D．若1a2x＋1xdx＝3＋ln2，则a的值是()[解析]1a2x＋1xdx＝(x2＋lnx)a1＝a2－1＋lna＝3＋ln2，所以a2－1＝3a＝2，解得a＝2.故应选D.例3设f(x)是连续函数，且f(x)＝x＋201f(t)dt，求f(x)．[解析]∵201f(t)dt是一个常数∴可设f(x)＝x＋c∴01f(t)dt＝01(t＋c)dt＝12t2＋ct10＝12＋c∴c＝201f(t)dt＝1＋2c∴c＝－1∴f(x)＝x－1.例4的最大值。求已知)(,)2()(1022afdxxaaxaf例5