七年级数学下平面图形折叠问题

初一数学中的折叠问题张文彩折叠问题是一个热点问题，不仅在中考中居于很重要的地位，而且在初一初二年级的期中期末考试中都是经常遇到的题目。初一年级的折叠问题大多是与平行有关的问题，然后根据平行线的性质求出有关角的度数问题，初二的折叠问题不仅与平行线有关，还和直角三角形的勾股定理，等腰三角形性质等相关的问题，初三的折叠问题就显得复杂得多，因为与初中阶段所学的各个知识点都有可能相关。下面就从最简单的初一数学知识有关折叠的问题进行总结。一．折叠矩形的一个角，求角的度数问题。例1.如图，将矩形ABCD沿AE对折，使点D落在点F处，若∠CEF=60°，则∠EAF等于（）；∠AED的大小为（）A.60°B.50°C.40°D.30°解析：根据折叠的性质，折叠的角等于原图形中的角，也就是∠DEA=∠FEA；再根据平角的度数是180°和条件∠CEF=60°，先求出∠DEA，然后根据三角形内角和是180°求出∠DAE，最后求出∠EAF。解：∵∠CEF=60°，∴∠DEA=21（180°-60°）=60°．在Rt△ADE中，∠DAE=90°-∠DEA=90°-60°=30°．∵△EAF由△EAD翻折而成，∴∠EAF=∠EAD=30°．故选D．例2.将矩形ABCD沿折线EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处，且∠CHE=40°，求∠EFB的度数．解析：折叠的性质：折叠后得到的角等于原来的角，也就是∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE.因为∠CHE=40°，所以∠FHC=90°+40°=130°，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求得∠HFB，最后求得∠EFB的度数。解：根据折叠的性质：∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE∵∠CHE=40°，∴∠FHC=90°+40°=130°∵CD∥BA,∴∠EFH=180-∠FHC=50度∴∠BFE=∠EFH=50÷2=25°。．把一张长方形纸条按图6－10的方式折叠后，量得∠AOB'＝110°，则∠B'OC＝_______．例3.将长方形ABCD沿着BD折叠，得到△BC/D,使C/D与AB交于点E，若∠1=35°，则∠2的度数为（）A.20°B.30°C.35°D.55°解析：这道题目是沿矩形对角线折叠一角。解题方法是根据矩形的性质：对边平行，四个角都是直角，和三角形内角和是180°。可以先求出∠DBC=90°-35°=55°，∠DBA=∠1=35°。再由折叠性质得∠DBC/=∠DBC=55°，所以∠2=∠DBC/-∠DBA=20°二．沿矩形内部的一条斜线段折叠，求一个角的度数问题。常用的方法是：邻补角互补，折叠得到的角等于原来的角，平行线的性质。例4.（2015安阳期末）把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=（）解析：根据平角的定义可以先求出∠1的邻补角=130度，再根据折叠的性质可以求出∠BFE=65度。最后由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，既可以求出∠AEF=180-∠BFE=115度。解：∵∠1=50°∴2∠BFE=130度；∴∠BFE=65度∵AD∥BC,∴∠AEF=180-∠BFE=115度例5.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB=70°，求∠AED′的度数．解析：根据折叠性质∠DEF=∠D′EF,根据两直线平行，内错角相等可以求得∠EFB=∠DEF=70°；所以∠DED′=140°，最后根据邻补角互补既可以求得∠AED′的度数。解：∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=70°根据折叠性质∠DEF=∠D′EF=70°；∴∠DED′=140°；∴∠AED′=180°-∠DED′=40°例6.把一张长方形ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点，点D、C分别落在D′、C′位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG和∠BGE的度数。解：∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFG=55°由折叠可知∠DEF=∠FEG=55°∴∠EDG=110°，∴∠AEG=180°-∠EDG=70°∵AD∥BC，∴∠BGE=180°-∠AEG=110°三．折叠宽度相等纸条，已知一个角的度数，求另一个角的度数。常用的方法：平行线的性质，邻补角的性质。例7.将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=______度．解：根据两直线平行，同位角相等，和邻补角互补的性质，∠1=180°-2×64°=52°例8.将一张长方形纸条按下图所示的方法折叠，则∠1的度数为______．解：根据两直线平行，内错角相等，和折叠的性质：2∠1=130°。所以∠1=65°例8.有一条直的等宽纸带，按如图折叠时，纸带重叠部分中的∠α为（）度．A.75B.70C.60D.80解析：根据根据两直线平行，同位角相等，∠EBH=30°，再由邻补角互补，可以求出∠EBH的邻补角等于150度，然后根据折叠的性质可以求出∠ABH=∠α的内错角=75°，所以∠α=75°。例9.如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=60°，则∠2=度。解析：根据平行线的性质，和已知条件∠1=60°可以求出∠1的内错角=60°，再根据折叠的性质，∠2的邻补角就是2∠1=120°所以∠2=60°例9四．折叠平行四边形，求角度的问题常用的方法有：除了根据折叠性质之外还要根据平行线的性质，和三角形内角和是180度来解决问题。例10。将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B/处，若∠1=∠2=44°，则∠B=（）A．66°B．104°C．114°D．124°解析：∵DC∥AB∴∠1=∠B/AB=44°，根据折叠可知∠BAC=∠B/AC=∠B/AB的一半=22°∴∠B=180°-∠2-∠BAC=114°五．除了折叠之外还有三角板与矩形纸片的放置问题，解决这类问题的方法也是运用平行线的性质和三角板特殊角的问题来解决。例11.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠3＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠5-∠2＝90°，其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析：直角三角板三个角都是特殊的角，除了90°的角外还有30°，45°，60°的角。比如这道例题中三角板的三个角分别是45°，45°，90°。纸条的对边位置关系是平行关系，所以就有∠2=∠1，∠3=∠4，∠5+∠4＝180°，∠2+∠4＝90°，再由邻补角互补，∠3+∠5＝180°，所以就能推出，（2）（3）正确。对于第（4）需要进行推导一下。因为∠5+∠4＝180°，∠2+∠4＝90°，所以∠5+∠4=90°+∠2+∠4，所以∠5-∠2＝90°也是正确的。所以正确的结论是（2）（3）（4）选C例12（2016安阳期末）如图a，ABCD是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是_________°（2）若∠DEF=α，把图3中∠CFE用α表示．解析：（1）图a，因为AD∥BC，∠DEF=26°，所以∠DEF=∠BFE=26°，图b∠AEG=180°-26°×2=128°=∠EGF=∠GFD图c∠CFE=∠GFD-∠BFE=128°-26°=102°（2）图a，因为AD∥BC，∠DEF=α，所以∠DEF=∠BFE=α，图b∠AEG=180°-α×2=180°-2α=∠EGF=∠GFD图c∠CFE=∠GFD-∠BFE=180°-2α-α=180°-3α