2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第1讲直线方程和两直线的位置关系

第九章解析几何第1讲直线方程和两直线的位置关系一、选择题1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是()A.12B.32C.322D.22解析由点到直线的距离公式得距离为|1＋1＋1|1＋－12＝322.答案C[来源:学.科.网]2．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()．A.π6，π3B.π6，π2C.π3，π2D.π6，π2解析如图，直线l：y＝kx－3，过定点P(0，－3)，又A(3,0)，∴kPA＝33，则直线PA的倾斜角为π6，满足条件的直线l的倾斜角的范围是π6，π2.答案B3．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()．A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0解析由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.答案A4．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0)B．(－3,0)C．(0，－3)D．(0,3)解析∵点P在y轴上，∴设P(0，y)，又∵kl1＝2，l1∥l2，∴kl2＝y－10－－1＝y－1＝2，∴y＝3，∴P(0,3)．答案D5．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝()．A．4B．6C.345D.365解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是3＋n2＝2×7＋m2－3，n－3m－7＝－12，解得m＝35，n＝315.故m＋n＝345.答案C6．若点A(3,5)关于直线l：y＝kx的对称点在x轴上，则k是()A.－1±52B．±3C.－1±304D.－3±345解析由题设点A(3,5)关于直线l：y＝kx的对称点为B(x0,0)，依题意得5－03－x0＝－1k，5＋02＝k×3＋x02，解得k＝－3±345.答案D二、填空题7．若点P是曲线y＝x2上的任意点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．解析在曲线y＝x2上任取一点P(x0，y0)，则P到直线y＝x－2的距离为：|x0－y0－2|2＝|x0－x20－2|2＝－x0－122－742＝x0－122＋742，因此，当x0＝12时其最小值为728.答案7288．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.解析由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝35.答案359．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c＋2a的值为________．解析由题意得，36＝－2a≠－1c，∴a＝－4且c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，由两平行线间的距离，得21313＝c2＋113，解得c＝2或c＝－6，所以c＋2a＝±1.答案±110．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．解析直线方程可化为x2＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2b－122＋12，由于0≤b≤1，故当b＝12时，ab取得最大值12.答案12三、解答题11．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即ab＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b.故a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3.解得λ＝2或λ＝12.∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由2x＋y－5＝0，x－2y＝0，解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝10.13．已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.(1)求d的最小值；(2)当直线l与x轴平行，试求d的值．解(1)因为3×2＋4×3－70,3×2＋4×3＋80，所以点P在两条平行直线l1，l2外．过P点作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝|8－－7|32＋42＝3.(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.14．如图，函数f(x)＝x＋2x的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图像上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.[来(1)证明：|PM|·|PN|为定值；(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．解(1)证明：设Px0，x0＋2x0(x0＞0)．则|PN|＝x0，|PM|＝2x02＝1x0，因此|PM|·|PN|＝1.(2)直线PM的方程为y－x0－2x0＝－(x－x0)，即y＝－x＋2x0＋2x0.解方程组得y＝x，y＝－x＋2x0＋2x0，x＝y＝x0＋22x0，S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝12|PN||ON|＋12|PM||OM|＝12x0x0＋2x0＋22x0x0＋12x0＝2＋12x20＋1x20≥1＋2，当且仅当x0＝1x0，即x0＝1时等号成立，因此四边形OMPN的最小值为1＋2.