3.2 边缘分布

1.二维随机变量的分布函数}.,{),(yYxXPyxF2.二维离散型随机变量的分布律及分布函数,},{ijjipyYxXP;,2,1,ji.),(yyxxijjipyxF3.二维连续型随机变量的概率密度.dd),(),(vuvufyxFyxGyxyxfGYXPdd),(}),{((,){(,)}ijijxyGPXYGp.1),(dd),()2(Fyxyxf.dd),(}),{(GyxyxfGYXP.0),()1(yxf性质(3)（4）若f(x,y)在点(x,y)连续，则有),(),(2yxfyxyxF。二、离散型随机变量的边缘分布律三、连续型随机变量的边缘分布一、边缘分布函数重点:边缘分布（边缘分布函数、边缘分布律、边缘分布密度）的定义、性质、计算第二节边缘分布一、边缘分布函数,},{),(yYxXPyxF(){}FxPXx},{YxXP),(xF)(xFX.),(的边缘分布函数关于XYX?,,),(:的分布如何确定的分布已知YXYX问题定义设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，(){,}(,)XFxPXxYFx称为（X，Y）关于X的边缘分布函数;(){,}(,)YFyPXYyFy称为（X，Y）关于Y的边缘分布函数。()(,)lim(,)XyFxFxFxy()(,)lim(,)YxFyFyFxy1()(,)iXijxxjFxFxp二、离散型随机变量的边缘分布1{},1,2,,iijijPXxppi(1,2,)(,).ipiXYX称为关于的边缘分布律(){}iixxFxPXxp{},1,2,...iiPXxpi1.X2（X,Y)设（X，Y）~,2,1,,},{jipyYxXPijji，1()(,)jYijyyiFyFyp(1,2,)(,).jpjXYY称为关于的边缘分布律1{},1,2,,jijjiPYyppj设（X，Y）~,2,1,,},{jipyYxXPijji，1{}(1,2,)iijjiPXxppi1{}(1,2,)jijjiPYyppjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21pi.p.jXY1042124212421242610}{iixXPp}{jjyYPp注意联合分布边缘分布解747317473例1已知下列分布律求其边缘分布律.设连续型随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)，则它关于X的边缘概率密度为yyxfxfXd),()(，它关于X的边缘分布函数为)(xFX),(xF,]d),([dxyyxfx三、连续型随机变量的边缘分布同理(X,Y)关于Y的边缘pdf为.d),()(xyxfyfY).(),(.,0,,6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度其它具有联合概率密度和设随机变量解()(,)dXxffyyx01,x当时xy2xyOxy)1,1(yyxfxfXd),()(26dxxy例2).(62xx01,xx当或时.0d),()(yyxfxfX26()0,()01,.,Xxxxfx其它因而得1x,10时当yxyxfyfYd),()(.,0,10),(6)(其它得yyyyfYyyyyx)(6d6).(6yyxy2xyOxy)1,1(,10时或当yy.0d),()(xyxfyfY1y()(,)dYyffyxx的概率密度为设二维随机变量),(YX2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf221212(,,,,)N则称（X,Y）服从二维正态分布,,yx.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且都是常数其中二维正态分布P66(,)XY二维正态变量的概率密度为2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf.的边缘概率密度试求二维正态随机变量,,yx.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且都是常数其中例3解：)(xfXyyxfd),(2211π21ρσσyeσμyσμyσμxρσμxρd2222221121212)(2)()1(212211π21ρσσyeσμxρσμxσμxρσμyρd212122121211222)()()1(21,d2)1(212)(112222121yeeσμxρσμyρσμx2211π21ρσσ22te,1111222σμxρσμyρt令,d2)1(212)(112222121yeeσμxρσμyρσμx2211π21ρσσ则有teeσxftσμxXd21)(22)(122121.,π2121212)(1xeσσμx22te2π.,π21)(21212)(1xeσxfσμxX同理可得二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,.ρ并且都不依赖于参数.,π21)(22222)(2yeσyfσμxY说明：二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，边缘分布不能决定联合分布。作业：P843,5,9,10解()(,)dXxffyyxdxyeyyyxfxfXd),()(.xe,0时当x.0.,0,0,)(其它故xexfxX}.1{)2();()1(.,0,0,),(~),(YXPxfyxeyxfYXXy求其它设练习：0,x当时xyOxyx}1{)2(YXPxxyyedx1210dxeexxd][)1(210.21211eeyxyxfyxdd),(1xyOxyxy121,0,(,)~(,)0,.yexyXYfxy其它解：关于X和Y的边缘分布分别为2、已知（X，Y）的分布律，求其边缘分布律。XY01011.02.03.04.0X016.04.0kpY017.03.0kp.d]d),([),()(xXxyyxfxFxF.d),()(yyxfxfX联合分布边缘分布四、小结,ip}{ixXP1jijp,2,1i,),()(1xxjijXipxFxF请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?不一定.举一反例以示证明.答),sinsin1(π21),(),(222yxeyxfYXyx的联合密度函数为令.π21)(,π21)(,),(,2222yYxXeyfexfYX但是不服从正态分布显然因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.