同济高数下册总结

1高数（下）小结一、微分方程复习要点解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：方程编号类型一般形式解法备注1型可分离变量方程)()(yxy或0)()(dyyNdxxM分离变量法有些方程作代换后可化为1型2型齐次方程)(xyy或)(yxx令化或yxuxyu为1型求解有时方程写成)(yxx令uyx化为1型求解3型线性方程)()(xQyxPy或)()(yQxyPx1．常数变易法2．凑导数法：同乘Pdxe有时方程不是关于yy,线性方程，而是关于xx,线性方程4型贝努里方程yxQyxPy)()(或xyQxyPx)()(令zy1或zx1化为3型求解有时方程不是关于yy,的贝努里方程，而是关于xx,贝努里方程5型全微分方程0),(),(dyyxQdxyxP其中yPxQ(,)uxyc(,)uxy为原函数有时乘以一个积分因子可化为5型二阶微分方程的解法小结：2齐次方程'0ypyqy的通解y为：判别式两特征根情况通解240pq相异实根1r，2rxrxrececy2121042qp二重实根0rxrexccy021240pq共轭复根ir,21xcxceyxsincos21非齐次方程()ypyqyfx的特解y的形式为：xf的形式特征根情况y的形式rxmPxer不是特征根rxmxeQr是k重特征根xmxxekQ12rkrk是单根是二重根cossinxlnePxxPxxi不是特征根12cossinxmmeQxxQxxi是特征根12cossinxmmxeQxxQxx主要:一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；类型特征求解方法备注xfyn缺,xyn次积分求解见上册'y,xfy缺y令'',ypyp，降为一阶方程降价后是关于p，x的一阶方程'y,yfy缺x令ypy'，dydppy''降为一阶方程降价后是关于p,y的一阶方程pyfdydpp,()ypyqyfx,pq常系数通解yyyyy及见下表32、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法在求xz时，应将y看作常量，对x求导，在求zy时，应将x看作常量，对y求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.2、复合函数的偏导数的求法设v,ufz，y,xu，y,xv，则xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz几种特殊情况：1）v,ufz，xu，xv，则dxdvvzxududzdxdz2）,zfxv，y,xv，则xvvfxfxz，yvufyz3）ufz，y,xu则xududzxz，yududzyz3、隐函数求偏导数的求法1）一个方程的情况设y,xzz是由方程0z,y,xF唯一确定的隐函数，则0zzxFFFxz，0zzyFFFyz或者视y,xzz，由方程0z,y,xF两边同时对()xy或求导解出()zzxy或.2）方程组的情况4由方程组00v,u,y,xGv,u,y,xF两边同时对()xy或求导解出()zzxy或即可.二、全微分的求法方法1：利用公式dzzudyyudxxudu方法2：直接两边同时求微分，解出du即可.其中要注意应用微分形式的不变性：zzdudvuvdzzzdxdyxy三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线Г的参数方程为tztytx，则当0tt时，在曲线上对应点0000z,y,xP处的切线方向向量为000t,t,tT'''，切线方程为000000tzztyytxx'''法平面方程为0000000zztyytxxt'''2）若曲面的方程为0z,y,xF，则在点0000z,y,xP处的法向量0PzyxF,F,Fn，切平面方程为0000000000000zzz,y,xFyyz,y,xFxxz,y,xFzyx法线方程为000000000000z,y,xFzzz,y,xFyyz,y,xFxxzyx若曲面的方程为y,xfz，则在点0000z,y,xP处的法向量10000,y,xf,y,xfnyx，切平面方程为500000000zzyyy,xfxxy,xfyx法线方程为10000000zzy,xfyyy,xfxxyx四、多元函数极值（最值）的求法1无条件极值的求法设函数y,xfz在点000y,xP的某邻域内具有二阶连续偏导数，由,0xfxy，,0yfxy，解出驻点00,xy，记00y,xfAxx，00y,xfBxy，00y,xfCyy.1）若20ACB，则y,xf在点00,xy处取得极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值.2）若20ACB，则y,xf在点00,xy处无极值.3）若02BAC，不能判定y,xf在点00,xy处是否取得极值.2条件极值的求法函数y,xfz在满足条件0y,x下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件0y,x解出y代入y,xf中，则使函数(,)zzxy成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数yxyxfyxF,,,，其中为参数，解方程组0,0,,,0,,,yxyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx令令6求出驻点坐标y,x，则驻点y,x可能是条件极值点.3最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值.主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：积分类型积分记号定义及几何意义积分区域积分元素被积函数一重积分badxxf)(iinixf)(lim10曲边梯形面积区间[,]abdx=x一元函数二重积分Ddyxf),(iiinif),(lim10曲顶柱体体积平面区域Drdrddxdyd二元函数三重积分dvzyxf),,(iiiinivf),(lim,10空间区域2sindxdydzdvrdrddzrdrdd三元函数第一类曲线积分LLdszyxfdsyxf),,(),(iiinisf),(lim10平面或空间曲线Lds=22)()(dydx=222122()()xydtdxyrrd二元或三元函数7第二类曲线积分LLdxzyxfdxyxf),,(),(iiinixf),(lim10平面或空间曲线Lcosdxds二元或三元函数第一类曲面积分dszyxf),,(iiinisf),,(lim10空间曲面221cosxyzzdxdydsdxdy三元函数第二类曲面积分dxdyzyxf),,(iiiinixf),,(lim10空间曲面cosdsdxdy三元函数计算方法应用转动慣量XI重心x其它（面积.体积.功等）见上册表后*所示1）)()(21xxbafdydxor)()(21yydcfdydx2))()(21)sin,cos(rrrdrrrfdxIDdy2xDDddx1体积xyDdzzV)(122）曲面面积A=xyDyxdxdyzz2211)),(),(21yxzyxzDfdzdXY2)ZDccfdxdydz23)柱面坐标法4）球面坐标法xI=dvzy)(22xdvdvx体积V=dv8*定积分的几何应用定积分应用的常用公式：(1)面积dxxgxfSba（X型区域的面积）drrS212221（型区域的面积）(2)体积1）22((),())fttxydt2)dxyxyxfba21))(,(3）22(()cos,()sin)()()frrrrd4）化为第二类曲线积分xI=Ldsy2x=LLdsdsx曲线所围面积A=Lydxxdy21dttttf)())(),(()12）dxxyxfba))(,(3）drrrf)sin()sin)(,cos)((4）Ldsyxfcos),(5）green公式计算法6）折线计算法（积分与路径无关时）；7）连续变形原理计算法；8）NL公式计算法1）功W=LQdyPdx求二元函数的“原函数”XYDyxdxdyzzyxzyxf221)),(,,(xI=dszy)(22x=dsdsx面积S=ds1）直接代入法xyDdxdyyxzyxf)),(,,(2）Gaus公式计算法；3）投影转移法cos((,),,))cosyzDfxyzyzdydz9dxxAVba（横截面面积已知的立体体积）2bxxaVfxdx（(),,,0yfxxaxby所围图形绕x轴旋转所得的立体体积）xy2baVxfxdx（(),,,0yfxxaxby所围图形绕y轴旋转的立体体积）2()bycaVfxcdx（(),,,yfxxaxbyc所围图形绕轴yc旋转的立体体积）(3)弧长'2'2'22'21babattydxSxydtrrd直角坐标形式参数方程形式极坐标形式计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算：1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量x对称，则当被积函数关于x为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量x为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量的对称性理论与上相反.3）、若积分区域,xy的地位平等（即将表示区域的方程,xy互换不变），则将被积函数中,xy互换积分不变.此称之为轮换对称性.主要1、交换二次积分的积分次序；2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分；3、green公式计算法；4、Gaus公式计算法；5、两曲面所围体积与旋转体的体积计算．6.平面图形面积的计算。所以：()()()()()