高考数学数列专题：数列与数学归纳法(含详解)[试卷]

学考100网届高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法1.如图，曲线2(0)yxy上的点iP与x轴的正半轴上的点iQ及原点O构成一系列正三角形△OP1Q1，△Q1P2Q2，…△Qn-1PnQn…设正三角形1nnnQPQ的边长为na,n∈N﹡(记0Q为O),,0nnQS.（1）求1a的值;（2）求数列{na}的通项公式na。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2.设,nnab都是各项为正数的数列，对任意的正整数n，都有21,,nnnaba成等差数列，2211,,nnnbab成等比数列．（1）试问nb是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2ab，求数列1na的前n项和nS．3.已知等差数列｛na｝中，2a＝8，6S＝66.（Ⅰ）求数列｛na｝的通项公式；（Ⅱ）设nnanb)1(2，nnbbbT21，求证：nT16.学考100网已知数列{na}中531a，112nnaa（n≥2，Nn），数列}{nb，满足11nnab（Nn）（1）求证数列{nb}是等差数列；（2）求数列{na}中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记21bbSn…nb，求1)1(limnnSbnn．5.已知数列{an}中，a10,且an+1=23na，(Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1an对任何自然数n都成立；(Ⅲ)若a1=2，设bn=|an+1－an|(n=1，2，3，…)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn25．6.（1）已知：)0(x，求证xxxx11ln11；（2）已知：2nNn且，求证：11211ln13121nnn。7.已知数列na各项均不为0，其前n项和为nS，且对任意Nn，都有nnpapSp)1(（p为大于1的常数），并记nnnnnnnSaCaCaCnf21)(2211.学考100网最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流（1）求na；（2）比较)1(nf与)(21nfpp的大小Nn；（3）求证：1212111111)()()12(nnippppifnfn(Nn).8.已知nN，各项为正的等差数列na满足263521,10aaaa，又数列lgnb的前n项和是11lg312nSnnnn。（1）求数列na的通项公式；（2）求证数列nb是等比数列；（3）设nnncab，试问数列nc有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。9.设数列na前项和为ns,且(3),(32)Nnmmasmnn,其中m为常数,m.3(1)求证:是等比数列;若数列na的公比q=f(m),数列nb满足),2,)((231,11nNnbfbabnn求证:nb1为等差数列,求nb.学考100网已知数列}{na满足：,21,121aa且0]1)1[(22])1(3[2nnnnaa，*Nn．（Ⅰ）求3a，4a，5a，6a的值及数列}{na的通项公式；（Ⅱ）设nnnaab212，求数列}{nb的前n项和nS；11.将等差数列{}na所有项依次排列，并作如下分组：1234567(),(,),(,,,),aaaaaaa…第一组1项，第二组2项，第三组4项，…，第n组12n项。记nT为第n组中各项的和。已知3448,0TT。（1）求数列{}na的通项；（2）求{}nT的通项公式；（3）设{}nT的前n项的和为nS，求8S。12.设各项为正数的等比数列na的首项211a，前n项和为nS，且0)12(21020103010SSS。（Ⅰ）求na的通项；（Ⅱ）求nnS的前n项和nT。学考100网设数列}{na是首项为0的递增数列，（Nn），,)(1sin)(nnaxnxf,[nax]1na满足：对于任意的bxfbn)(),1,0[总有两个不同的根。（1）试写出)(1xfy，并求出2a；（2）求nnaa1，并求出}{na的通项公式；（3）设nnnaaaaaS14321)1(，求nS。14.已知数列3021,,,aaa，其中1021,,,aaa是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,aaa是公差为d的等差数列；302120,,,aaa是公差为2d的等差数列（0d）.(Ⅰ)若4020a，求d；（Ⅱ）试写出30a关于d的关系式，并求30a的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，使得403130,,,aaa是公差为3d的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？(所得的结论不必证明)15.一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到13，记为113f；②当从A口输入自然数2nn时，在B口得到的结果fn是前一个结果1fn的211213nn倍.（1）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？试猜想fn的关系式，并证明你的结论；（2）记nS为数列fn的前n项的和。当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的nS的值.16.已知数列}{na，其前n项和Sn满足(121nnSS是大于0的常数），且a1=1，a3=4.（1）求的值；（2）求数列}{na的通项公式an；学考100网最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流（3）设数列}{nna的前n项和为Tn，试比较2nT与Sn的大小.17.定义：若数列{}nA满足21nnAA，则称数列{}nA为“平方递推数列”．已知数列{}na中，12a，且2122nnnaaa，其中n为正整数．(1)设21nnba，证明：数列{}nb是“平方递推数列”，且数列{lg}nb为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”{}nb的前n项之积为nT，即12(21)(21)(21)nnTaaa，求数列{}na的通项及nT关于n的表达式；(3)记21lognnancT，求数列{}nc的前n项之和nS，并求使2008nS的n的最小值．18.在不等边△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知A2sin，B2sin，C2sin依次成等差数列，给定数列aAcos，bBcos，cCcos．（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号：数列aAcos，bBcos，cCcos（）．A．是等比数列而不是等差数列B．是等差数列而不是等比数列C．既是等比数列也是等差数列D．既非等比数列也非等差数列（2）证明你的判断．19.已知}{na是等差数列，其前n项和为Sn，已知a2=8，S10=185，（1）求数列}{na的通项公式；（2）设nnba2log，证明}{nb是等比数列，并求其前n项和Tn.20.已知数列{an}中，a11，aaannn111（n＝2，3，4，…）学考100网最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流（I）求aa23、的值；（II）证明当n＝2，3，4，…时，2132nann21.已知等差数列{an}中，aSn38，是其前n项的和且S20610（I）求数列{an}的通项公式。（II）若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn。22.已知正项等比数列{na}满足条件：①12154321aaaaa；②251111154321aaaaa，求{na}的通项公式na．23.已知函数f（x）＝3log（ax＋b）图象过点A（2，1）和B（5，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）记)(3xfna，*Nn，是否存在正数k，使得)11)(11(22aa…12)11(nkan对一切*Nn均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由．24.已知f(x)=log2(x+m),m∈R（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m的值；（2）如果a,b,c是两两不等的正数，且a,b,c依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)学考100网最权威的信息最丰富的资源最快捷的更新最优质的服务最真诚的交流的大小关系，并证明你的结论。25.已知等差数列{an}的公差d0.Sn是它的前n项和，又441S与661S的等比中项是117a，441S与661S的等差中项是6，求an。26.}{na和}{nb分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合21{aA，22a，23a，…，}2na，1{bB，2b，3b，…，}nb．求证：BA．27.已知曲线C：xy1，nC：nxy21（Nn）。从C上的点),(nnnyxQ作x轴的垂线，交nC于点nP，再从点nP作y轴的垂线，交C于点),(111nnnyxQ，设111,,1nnnnnnyybxxax。（I）求21,QQ的坐标；（II）求数列na的通项公式；（III）记数列nnba的前n项和为nS，求证：31nS答案：学考100网解：①由条件可得11113,22Paa,代入2(0)yxy得21111312,0,423aaaa②12nnSaaa∴11113(,)22nnnnPSaa；代入曲线2(0)yxy并整理得2113142nnnSaa,∴于是当*2,nnN时,221113131()()4242nnnnnnnaSSaaaa即11113()()()24nnnnnnaaaaaa*1120,(2,)3nnnnaaaannN又当2122231421,,(4233nSaaa时舍去）；2123aa,故*12()3nnaanN∴所以数列{na}是首项为23、公差为23的等差数列,23nan。2.由题意，得212nnnbaa，（1）22211nnnabb（2）（1）因为0,0nnab，所以由式（2）得11nnnabb，从而当2n时，1nnnabb，代入式（1）得2112nnnnnbbbbb，即1122nnnbbbn，故nb是等差数列．（2）由111,2ab及式（1），式（2），易得2233,2,2ab因此nb的公差22d，从而12112nbbndn，得11122nann（3）又11a也适合式（3），得*12nnnanN，所以1211211nannnn，学考100网最权威的信息最丰富