高等数学课件函数的连续性与间断点

二、函数的间断点一、函数的连续性第六节函数的连续性与间断点可见,函数在点0x一、函数的连续性(continuity)1.定义:在的某邻域内有定义,则称函数.)(0连续在xxf(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;对自变量的增量有函数的增量)(xfyxoyxxy)()(lim00xfxfxx)()(lim000xfxxfx0lim0yx函数在点连续有:2.函数连续的等价定义等价定义:在的某邻域内有定义,设函数0lim0yx若则称函数.)(0连续在xxf,0,0当0xx时,有)()(0xfxf语言函数连续的.30lim)2(0yx,0,0当x时,有y4.左、右连续在的某邻域内有定义,设函数则称函数.)(0连续左在xxf连续在0)(xxf.)(0连续且右连续左在xxf连续在0)(xxf定理1continue)()(lim,),(000xPxPxxx若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数..],[baC例如,在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.在闭区间上的连续函数的集合记作只要,0)(0xQ都有)()(lim00xRxRxx例.证明函数在内连续.证:),(0x00sin)sin(xxxy)cos(sin2202xxxyx0x即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.0在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但)()(lim00xfxfxx不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称0x若称0x第二类间断点:及中至少一个不存在,称0x若其中有一个为振荡,称0x若其中有一个为,为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.2x为其无穷间断点.0x为其振荡间断点.1x为可去间断点.xoy1例如:xytan2xyoxyxy1sin0)0(1)(lim0fxfx显然0x为其可去间断点.0,00,sin)(xxxxxfy(4)(5)0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11,1)0(f1)0(f0x为其跳跃间断点.(6)的间断点讨论函数nnxxxf211lim)(11,01,111,1)(xxxxxxf或1x为其跳跃间断点.Conclusions:左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,210)(0,001arctan)(22．　　．　　．　　．　　处连续，则在　　　　　当　当设DCBAaxxaxxxxf．连续点．无穷间断点　　．跳跃间断点．可去间断点　　的是，点)()()()()(011)(11DCBAxfxeexfxx☆☆☆型．的间断点，并判定其类指出，　　当，当，　　当，当设函数)(110220002sin)(2xfxxxxxxxxxf备用题确定函数间断点的类型.xxexf111)(解:间断点1,0xx)(lim0xfx,0x为无穷间断点;,1时当xxx1,0)(xf,1时当xxx1,1)(xf故1x为跳跃间断点.,1,0处在x.)(连续xf在其定义域内连续三、连续函数的运算法则定理2.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,思考:(1)同一区间内,一个连续函数与一个不连续函数的和是否连续?(2)同一区间内,两个不连续函数的和是否一定不连续?定理3.连续单调递增函数的反函数例如,xysin在上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调在上连续单调,其反函数在上也连续单调.又如,特别,在上也连续单调.2xxeeshx双曲正弦2xxeechx双曲余弦在上连续.)1ln(2xxshxary反双曲)1ln(2xxchxary在上连续.在上连续.定理4.连续函数的复合函数是连续的.证:设函数.)()(lim000uxxxx于是)(lim0ufuu)]([0xf故复合函数即即例如,是由连续函数链*Rx因此在*Rx上连续.复合而成,xyoxy1sin在上连续.证明：初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续连续函数求极限例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:)()(xgxf根据连续函数运算法则,可知也在上连续.例2.求解:原式例3.求解:令,1xat则,)1(logtxa原式)1(loglim0ttatNote:当时,有~)1ln(x~1xexx例4.求解:原式)21ln(sin3xxx3Note:若,0)(lim0xuxx则有)()(1lim0xvxxxu,)(lim0xvxxee)()(lim0xuxvxxx21,41,)(xxxxx例5.设解:讨论复合函数的连续性.1,2xx1,2xx故此时连续;而)]([lim1xfx21limxx1)]([lim1xfx)2(lim1xx3故x=1为第一类跳跃间断点.1)(),(2xx1)(,)(2xx,)]([1,1为初等函数时xfxx在点x=1不连续,Conclusions:基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续Remark:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.反例x为有理数x为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?Hint:“反之”不成立.思考:答：不一定axaxaxsinsinlim)1(xxxxba10)2(lim)2(xxxsinlnlim)3(0xxxxxx20sin1sin1tan1lim)4(注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.定理5.在闭区间上连续的函数即:设,],[)(baCxfxoyab)(xfy12则,],[,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断在该区间上一定有最大(证明略)点,四、有限闭区间上连续函数的性质例如,无最大值和最小值xoy11xoy1122也无最大值和最小值又如,定理5.在闭区间上连续的函数值和最小值.在该区间上一定有最大bxoya)(xfy12mM推论.由定理1可知有,)(max],[xfMbax)(min],[xfmbax证:设上有界.定理6.(零点定理)至少有一点且使xyoab)(xfy(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理7.(介值定理)设,],[)(baCxf且,)(1最大值Mxf,,)(2mMmxf最小值则对m与M之间的任一数C,一点证:作辅助函数Cxfx)()(则,],[)(21xxCx且)()(21xx))((CmCM故由零点定理知,至少有一点使即Abxoya)(xfyBC使至少有例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有例2.)(]1,0[,1)1()0(]1,0[)(fffxf使得上至少存在一点证明在上连续，在设函数Conclusions:在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,必存在使上有界;在在备用题1.至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.上连续,且恒为正,2.设)(xf在对任意的必存在一点证:使令,则)()(21xfxf221)]()([xfxf0使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明: