中考第一轮复习《全等三角形》课件

基础知识梳理中考真题汇编考点详解典例解析针对性练习五年中考全国真题数学第四章三角形基础知识梳理数学第四章三角形●考点一全等三角形的定义及性质1．全等三角形的定义：能够__________的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应角________、对应边________、周长________、面积________；(2)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线________.完全重合相等相等相等相等相等数学第四章三角形●考点二全等三角形的判定已知条件图形是否全等形成结论三边是________两角夹边是ASA两角一边两角对边是AASSSS数学第四章三角形已知条件图形是否全等形成结论两边一角两边夹角是________直角三角形是________斜三角形不一定无两边对角三角不一定无SASHL数学第四章三角形三角形全等的证明思路证三角形全等已知两边找夹角→SAS找直角→HL找另一边→SSS已知一边和一角边为角的对边→找任一角→AAS边为角的邻边→找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角找夹边→ASA找任一边→AAS数学第四章三角形一、全等三角形的性质【例1】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC．其中正确结论的序号是__________.【解析】由△ABO≌△ADO，得AB＝AD，∠AOB＝∠AOD＝90°，∠BAC＝∠DAC，又AC＝AC，所以△ABC≌△ADC，所以CB＝CD．根据已知条件，推证不出DA＝DC．【答案】①②③【点拨】明晰全等三角形的对应元素，才能准确得到“对应的线段相等和对应的角相等”．数学第四章三角形二、全等三角形的判定【例2】(2018·安顺)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BD＝CED．BE＝CD数学第四章三角形【解析】∵AB＝AC，∠A为公共角．如添加∠B＝∠C，利用ASA可证明△ABE≌△ACD；如添加AD＝AE，利用SAS可证明△ABE≌△ACD；如添加BD＝CE，由等量关系可得AD＝AE，利用SAS可证明△ABE≌△ACD；如添加BE＝CD，因为SSA，不一定能证明△ABE≌△ACD．【答案】D【点拨】此题是一个考查全等三角形判定的开放题，解决此类题的关键是熟练掌握判定三角形全等的四种方法以及判定两个直角三角形全等的“HL”．特别提醒：“SSA”与“AAA”不能判定两个三角形全等．数学第四章三角形三、全等三角形的判定和性质的综合【例3】(2018·武汉)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.【解析】要证GE＝GF，可考虑证明∠DEC＝∠AFB．根据题目条件，利用“边角边”能够证明△ABF和△DCE全等，故∠DEC＝∠AFB．数学第四章三角形【答案】证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.在△ABF和△DCE中，AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，∴△ABF≌△DCE(SAS)．∴∠DEC＝∠AFB，∴GE＝GF.【点拨】本题是考查全等三角形的判定和性质的综合题，首先根据所给的条件判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质，可以得到线段相等、角相等，这也是证明线段相等、角相等的常用方法之一．数学第四章三角形1．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝_________.120°数学第四章三角形2．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使△ABC≌△DCB．你添加的条件是________________________________________________________.AB＝CD或AC＝DB或∠ABC＝∠DCB或∠ACB＝∠DBC数学第四章三角形3．如图，AB∥CD，AB＝CD，CE＝BF.请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．解：DF＝AE.证明：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B．∵CE＝BF，∴CE－EF＝BF－FE，∴CF＝BE.又∵CD＝AB，∴△DCF≌△ABE(SAS)，∴DF＝AE.数学第四章三角形4．如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连接BE，AD交于点O，BE与AC交于点P.求证：∠AOB＝60°.证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CAD＝∠CBE.∵∠APO＝∠BPC，∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°.数学第四章三角形中考真题汇编数学第四章三角形1．(2016·安徽)(节选)如图，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．求证：△PCE≌△EDQ.证明：∵点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点，∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∴∠OCE＝∠ODE，∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，∴∠PCO＝∠QDO＝90°，∴∠PCE＝∠PCO＋∠OCE＝∠QDO＋∠ODE＝∠EDQ，∵PC＝12AO＝OC＝ED，CE＝OD＝12OB＝DQ，在△PCE与△EDQ中，PC＝DE，∠PCE＝∠EDQ，CE＝DQ，∴△PCE≌△EDQ.数学第四章三角形2．(2015·安徽)(节选)如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG，BG，CG，DG，且∠AGD＝∠BGC．求证：AD＝BC．证明：∵GE是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，同理GD＝GC，又∵∠AGD＝∠BGC，∴△AGD≌△BGC，∴AD＝BC．数学第四章三角形3．(2014·安徽)(节选)如图，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N，点O是AD的中点，连接OM，ON.求证：OM＝ON.证明：如图，连结OF，由PM∥AB，PN∥CD可知，AM＝BP，PC＝DN，又∵正六边形ABCDEF，∴BC＝AF，OF＝OD，∠OFM＝∠ODN，∴PC＝MF，MF＝DN，∴△MOF≌△NOD，∴OM＝ON.数学第四章三角形4．(2018·巴中)下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是()A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙B数学第四章三角形5．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E.AD＝3，BE＝1.则DE的长是()A．32B．2C．22D．10B数学第四章三角形6．(2018·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为()A．a＋cB．b＋cC．a－b＋cD．a＋b－cD数学第四章三角形7．(2018·济宁)在△ABC中，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF，请你添加一个条件_____________________________________________________________________________，使△BED与△FED全等．答案不唯一，如：BD＝EF(或BD＝CD或DF∥AB或DE∥AC或∠BED＝∠EDF等)数学第四章三角形8．(2018·铜仁市)已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.求证：AE∥BF.证明：∵AD＝BC，∴AC＝BD，在△ACE和△BDF中，AC＝BD，AE＝BF，CE＝DF，∴△ACE≌△BDF(SSS)，∴∠A＝∠B，∴AE∥BF.数学第四章三角形9．(2018·桂林)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．证明：(1)∵AC＝AD＋DC，DF＝DC＋CF，且AD＝CF，∴AC＝DF.在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)；(2)由(1)可知，∠F＝∠ACB，∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°，∴∠F＝∠ACB＝37°.数学第四章三角形10．(2018·滨州)已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．(1)如图①，若点E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；(2)若点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．数学第四章三角形(1)证明：如图①，连接AD，∵∠BDA＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF，∴∠BDE＝∠ADF.又∵D为BC中点，△ABC是等腰直角三角形，∴BD＝AD，∠B＝∠DAC＝45°，∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF；数学第四章三角形(2)解：如图②，连接AD，∵∠BDA＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＋∠BDF＝∠BDF＋∠ADF，∴∠BDE＝∠ADF，又∵D为BC中点，△ABC是等腰直角三角形，∴BD＝AD，∠ABC＝∠DAC＝45°.∴∠EBD＝∠FAD＝180°－45°＝135°，∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF.