【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《离散型随机变量的分布列》

【2014年高考会这样考】1．在理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念的基础上，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．2．考查两点分布和超几何分布的简单应用.第6讲离散型随机变量的分布列抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练离散型随机变量的分布列两点分布超几何分布列考向一考向二考向三求解离散型随机变量分布列的答题技巧单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列由古典概型求离散型随机变量的分布列由统计数据求离散型随机变量的分布列选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、考点梳理1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝，则称表为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．(4)分布列的两个性质①pi≥，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝.次序pi01Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn变量考点梳理2．两点分布如果随机变量X的分布列为其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的．两点分布X10Ppq3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X01…mPC0M·Cn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN为超几何分布列．助学微博离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表格．第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行数据代表事件的概率．利用离散型随机变量的分布列，很容易求出其期望和方差等特征值．一类表格(1)第二行数据中的数都在(0,1)内；(2)第二行所有数的和等于1.两条性质三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列．1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()．A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()．A．0B.12C.23D.133．(2013·银川模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为()．A.27220B.2755C.1220D.21254．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()．A．25B．10C．7D．65．(人教A教材习题改编)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是________．Y1234P15152515单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测CDAC12345【例1】►(2012·广东改编)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．解(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.[审题视点](1)抓住总面积和为1即可算得x的值．(2)ξ的可能取值为0,1,2，算出其概率，即可列出ξ的分布列，从而求出ξ的期望．考向一由统计数据求离散型随机变量的分布列(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.因此ξ可能取0,1,2三个值．P(ξ＝0)＝C29C212＝611，P(ξ＝1)＝C19·C13C212＝922，P(ξ＝2)＝C23C212＝122.ξ的分布列为ξ012P611922122故E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.考向一由统计数据求离散型随机变量的分布列[方法锦囊]求离散型随机变量的分布列的步骤：①确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；②尽量寻求计算概率时的普遍规律；③检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．【训练1】(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数甲组乙组9911019890分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数Y的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．解(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21，考向一由统计数据求离散型随机变量的分布列[方法锦囊]求离散型随机变量的分布列的步骤：①确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；②尽量寻求计算概率时的普遍规律；③检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．P(Y＝17)＝216＝18；P(Y＝18)＝416＝14；P(Y＝19)＝416＝14；P(Y＝20)＝416＝14；P(Y＝21)＝216＝18则随机变量Y的分布列是：Y1718192021P1814141418(2)由(1)知E(Y)＝178＋184＋194＋204＋218＝19，设这名同学获得钱数为X元，则X＝10Y，则E(X)＝10E(Y)＝190.考向一由统计数据求离散型随机变量的分布列[方法锦囊]求离散型随机变量的分布列的步骤：①确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时的意义；②尽量寻求计算概率时的普遍规律；③检查计算结果是否满足分布列的第二条性质．【例2】►(2012·浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．解(1)由题意，得X取3,4,5,6，且P(X＝3)＝C35C39＝542，P(X＝4)＝C14·C25C39＝1021，P(X＝5)＝C24·C15C39＝514，P(X＝6)＝C34C39＝121，[审题视点]本题是一道有关古典概型的题目，对变量的取值要做到不重不漏，计算要准确．考向二由古典概型求离散型随机变量的分布列[方法锦囊]求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列．所以X的分布列为X3456P5421021514121(2)由(1)知E(X)＝3P(X＝3)＋4P(X＝4)＋5P(X＝5)＋6P(X＝6)＝133.[审题视点]本题是一道有关古典概型的题目，对变量的取值要做到不重不漏，计算要准确．考向二由古典概型求离散型随机变量的分布列[方法锦囊]求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列．【训练2】(2012·安徽)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束，试题库中现共有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．解以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.(1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nm＋n·n＋1m＋n＋2＝nn＋1m＋nm＋n＋2.[审题视点]本题是一道有关古典概型的题目，对变量的取值要做到不重不漏，计算要准确．考向二由古典概型求离散型随机变量的分布列[方法锦囊]求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列．(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.P(X＝n)＝P(A1A2)＝nn＋n·nn＋n＝14，P(X＝n＋1)＝P(A1A2)＋P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＋nn＋n·nn＋n＝12，P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝nn＋n·n＋1n＋n＋2＝14，从而X的分布列是Xnn＋1n＋2P141214E(X)＝n×14＋(n＋1)×12＋(n＋2)×14＝n＋1.[审题视点]本题是一道有关古典概型的题目，对变量的取值要做到不重不漏，计算要准确．考向二由古典概型求离散型随机变量的分布列[方法锦囊]求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列．(1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值．[审题视点]考向三由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列【例3】►(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．解(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C)＝1－110·p＝4950，解得p＝15.(2)由题意，P(ξ＝0)＝C031103＝11000，(1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值．[审题视点]考向三由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列P(ξ＝1)＝C131102×1－110＝271000，P(ξ＝2)＝C23×110×1－1102＝2431000，P(ξ＝3)＝C331－1103＝7291000.所以，随机变量ξ的概率分布列为ξ0123P1100027100024310007291000故随机变量ξ的数学期望：E(ξ)＝0×11000＋1×271000＋2×2431000＋3×7291000＝2710.解决随机变量分布列问题时，首先应先根据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出随机变量的取值，再正确求出随机变量的各个取值对应的概率，同时要做到计算准确无误．【方法锦囊】【训练3】(2013·中山期末)某校对新扩建的校园进行绿化，移栽香樟和桂花两种大树各2株，若香樟的成活率为45，桂花的成活率为34，假设每棵树成活与否是相互独立的．(1)求两种树各成活一株的概率；(2)设ξ表示成活的株数，求ξ的分布