2013届高考数学一轮复习讲义：9.7 双曲线

一轮复习讲义双曲线1．双曲线的概念(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做．这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c为常数且a0，c0：①当时，P点的轨迹是双曲线；②当a＝c时，P点的轨迹是；③当时，P点不存在．忆一忆知识要点双曲线焦点焦距acac两条射线要点梳理1.平面内与两定点F1，F2的距离的差等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是什么？2.若常数2a=0,轨迹是什么?线段F1F2垂直平分线4.若常数2a＞|F1F2|轨迹是什么？轨迹不存在双曲线的一支3.若常数2a=|F1F2|轨迹是什么？两条射线1F2FxyoxyoM1202||aFF一、双曲线的定义||MF1|-|MF2||=2a（02a|F1F2|）F1F2M忆一忆知识要点要点梳理xa≥或xa≤ya≤ya≥或)0,(a),0(abyxaayxbace)(222bac其中关于坐标轴和原点都对称性质双曲线22221(0,0)yxabab22221(0,0)yxabab范围对称性顶点渐近线离心率图象二、双曲线的几何性质e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!①e的范围：②e的含义：2221(),abcbeaaa(1,)(0,),,bbeeaa当时，且增大也增大e增大时，渐近线与实轴的夹角增大.(1)双曲线的离心率cea1e21.bea三、双曲线的重要结论xyO忆一忆知识要点221(),1bbeeaa要点梳理双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．(2)等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的离心率为:2e等轴双曲线的两渐近线渐近线为y=±x,22(0)xyxyO等轴双曲线的两渐近线互相垂直.忆一忆知识要点要点梳理(3)特征三角形Mxyob2A1A2B1Bca222cab忆一忆知识要点要点梳理双曲线的定义P13910题（3）双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性．例2根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．双曲线的标准方程设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程．解方法一(1)设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，(－3)2a2－(23)2b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.故所求双曲线的方程为x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意易求c＝25.又双曲线过点(32，2)，∴(32)2a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝(25)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.方法二(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.(2)设双曲线方程为x216－k－y24＋k＝1，将点(32，2)代入得k＝4，(k＝－14舍去)．∴所求双曲线方程为x212－y28＝1.求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．探究提高(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(10，0)，求双曲线的方程；(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线的方程．变式训练2(2)当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵渐近线的方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴ba＝43，a2＋b2＝100，解得a＝6，b＝8.∴焦点在x轴上的双曲线的方程为x236－y264＝1.当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，∵渐近线的方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，∴ab＝43，a2＋b2＝100，解得a＝8，b＝6.∴焦点在y轴上的双曲线的方程为y264－x236＝1.综上，双曲线的方程为x236－y264＝1或y264－x236＝1.如图，已知F1、F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程．解(1)∵∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°.在Rt△PF2F1中，PF1＝F1F2cos∠PF1F2＝2ccos30°＝43c3，PF2＝12PF1＝23c3，又PF1－PF2＝2a，即233c＝2a，ca＝3，∴e＝ca＝3.双曲线的几何性质(2)对于双曲线，有c2＝a2＋b2，∴b＝c2－a2.∴ba＝c2－a2a＝ca2－1＝3－1＝2.∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x.在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e1.探究提高【2】(09·辽宁)已知F是双曲线的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为_________.221412yx914||49169.FAF1(4,0),|PF|-|PF1|=4.则只需|PF1|+|PA|最小即可,∴|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|.即P,F1,A三点共线.AyF1FxOP题型参数的范围与最值例4过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．(1)求AB；(2)求△AOB的面积；(3)求证：AF2＋BF2＝AF1＋BF1.直线与双曲线的位置关系写出直线方程，然后与双曲线方程联立组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求AB；求O到直线的距离，代入面积公式得△AOB的面积；最后利用双曲线的定义求证等式成立．(1)解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．直线AB的方程为y＝33(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝33(x－3)，x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275.∴AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332·(x1＋x2)2－4x1x2＝43·3625＋1085＝1635.(2)解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点O到直线AB的距离为d＝|－33|(3)2＋(－3)2＝32.∴S△AOB＝12·AB·d＝12×1635×32＝1235.(3)证明如图，由双曲线的定义得AF2－AF1＝23，BF1－BF2＝23，∴AF2－AF1＝BF1－BF2，即AF2＋BF2＝AF1＋BF1.双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则AB＝1＋k2|x1－x2|.探究提高直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．变式训练4解(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故k2－2≠0，Δ＝(2k)2－8(k2－2)0，－2kk2－20，2k2－20.解得k的取值范围是－2k－2.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得x1＋x2＝2k2－k2，x1·x2＝2k2－2.②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．则由FA⊥FB得：(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③把②式及c＝62代入③式化简得5k2＋26k－6＝0.解得k＝－6＋65或k＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k＝－6＋65使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．(14分)已知双曲线x2－y22＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？忽视直线与双曲线相交的判断致误易错警示学生解答展示(1)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程．(2)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．审题视角规范解答解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．[2分]设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.[4分]由y＝kx＋1－k，x2－y22＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．①[8分]∴x0＝x1＋x22＝k(1－k)2－k2.由题意，得k(1－k)2－k2＝1，解得k＝2.[10分]当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－80，方程①没有实数解．[12分]∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．[14分]批阅笔记(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是考生忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)如将本题中点P的坐标改为(1,2)，看看结论怎样？1．两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心．2．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.3．共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线．所以与双曲线x2a2－y2b2＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．4．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x2a2－y2b2＝0就是双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线方程．方法与技巧1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．3．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±abx.4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直