高等数学第四章不定积分

第四章微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算不定积分4.1不定积分的概念与性质定义1：设F(x)与f(x)是定义在某区间上的函数，如果在该区间上有或，则称F(x)是f(x)在这个区间上的一个原函数。)()(xfxFdxxfxdF)()(4.1.1原函数问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束定理.原函数都在函数族(C为任意常数)内.证:1)又知])()([xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族.)(CxF机动目录上页下页返回结束即定义2.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!例如,xexdCexxxd2Cx331xxdsinCxcos记作4.1.2不定积分的概念4.1.3不定积分的几何意义:的原函数的图形称为xxfd)(的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.yxo0x机动目录上页下页返回结束的积分曲线.例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为12xy机动目录上页下页返回结束yxo)2,1(性质1一个函数积分后导数或微分等于这个函数。性质2一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。dxxfdxxfdxfdxxfdxd)()()()(或CxfxdfCxfdxxf)()()()(或4.1.4不定积分的简单性质性质3积分形式不变性如果u为x的任何可微函数，则有CxFdxxf)()(CuFduuf)()(dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([性质4函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和性质5常数因子可从积分号中提出dxxfkdxxkf)()(k是常数且k≠04.2不定积分的基本公式xkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx111xxd)3(Cxln时0x机动目录上页下页返回结束)1(])ln([)ln(xxx121d)4(xxCxarctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cxcotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cxcosxx2sind)9(xxdcsc2Cxcot机动目录上页下页返回结束xxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln机动目录上页下页返回结束例1dxxxxsincos2cosdxxxxxsincossincos22dxxxxxxxsincos)sin)(cossin(cos22cos2cossinxxx例2dxx2cos21cos2xdx22cos22cos1cos212sinxxxx例3.求解:原式=xxd34例4.求解:原式=xxdsin21sin22sincosxxx例5.求解:原式=xexxd)25)2[(机动目录上页下页返回结束例6.求解:原式=xxd)1(sec22222sec1tancsc1cotxxxx例7.求解:原式=xxxxxd)1()1(22注意方法例8.求.d124xxx解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222机动目录上页下页返回结束注意方法例1dxxxxsincos2cosdxxxxxsincossincos22dxxxxxxxsincos)sin)(cossin(cosCxxcossindxxdxxsincos22cos2cossinxxx例2dxx2cos21cos2xdx1cos22xdxdxsin22xxC22cos22cos1cos212sinxxxx例3.求解:原式=xxd34134Cx313例4.求解:原式=xxdsin21Cxcos21134xCsin22sincosxxx例5.求解:原式=xexxd)25)2[()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C机动目录上页下页返回结束例6.求解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxxtan2222sec1tancsc1cotxxxx例7.求解:原式=xxxxxd)1()1(22xxd112xxd1xarctanCxln注意方法例8.求.d124xxx解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313机动目录上页下页返回结束注意方法内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动目录上页下页返回结束思考与练习1.若d)(ln2xxfx提示:xexeln)(lnxfx1Cx221机动目录上页下页返回结束2.若是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示:已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10机动目录上页下页返回结束3.若;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为则的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(??或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx机动目录上页下页返回结束4.求下列积分:提示:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x机动目录上页下页返回结束5.求不定积分解：)1(2xxee机动目录上页下页返回结束6.已知22221d1d1xxBxxAxxx求A,B.解:等式两边对x求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA机动目录上页下页返回结束二、第二类换元法一、第一类换元法机动目录上页下页返回结束4.3两种积分法第四章4.3.1.换元积分法复合函数的微分法大大拓展了求导数（或求积分）的范围。同样，将复合函数的微分法用于求积分即得复合函数得积分法—换元积分法，按其应用方法得不同可分为两种换元法。1第一换元积分法如果不定积分用基本积分法不易求得，但被积表达式可分解为dxxf)(作变量代换，得到)(xuduugdxxxgdxxf)()()]([)(则()()guduGuC()(),fxdxgudu()[()]()[()](()),fxdxgxxdxgxdx而可以求出，不妨设()gudu()[()]GuCGxC这一步常称为“凑积分”，第二步就是求不定积分。duug)(定理（第一类换元积分法）设，且在区间I可微，则()()guduGuC)(xu()[()]()()()[()]fxdxgxxdxguduGuCGxC用第一换元积分法求不定积分，分为两步完成，第一步从f(x)中分出一个因子，使与dx凑成u的微分du，并把被积函数剩下的部分写成的u函数，即duugdxxf)()(dxxf)()()(xxu)(x例)2(2cos2cos2xxdxdxCxCu2sinsinxu2uducos例1.求解:原式=mbax)()(d1baxa注:当时机动目录上页下页返回结束22)(1d1axxa例2.求解:2)(1axaxda1想到公式21duuCuarctan)(ax机动目录上页下页返回结束例3.求21duu想到Cuarcsin解:2)(1daxax)(d))((xxf(直接配元)xxxfd)()]([2)(1)(daxax机动目录上页下页返回结束例4.求解:xxxdcossinxxcoscosdxxxsindcosxxsinsind机动目录上页下页返回结束类似Caxaxaln21例5.求解:221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axax)(da21axlnaxlnCaxax)(d机动目录上页下页返回结束常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(dbxaa1xxxfnnd)()2(1nxdn1xxxfnd1)()3(nxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4(xsindxxxfdsin)(cos)5(xcosd机动目录上页下页返回结束xxxfdsec)(tan)6(2xtandxeefxxd)()7(xedxxxfd1)(ln)8(xlnd例6.求xln21xlnd解:原式=xln2121)ln21(dx机动目录上页下页返回结束例7.求.d3xxex解:原式=xexd23)3d(323xexCex332例8.求.dsec6xx解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC机动目录上页下页返回结束例9.求.1dxex解法1xeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxCex)1ln(解法2xeexxd1xxee1)1(dCex)1ln()]1(ln[)1ln(xxxeee两法结果一样机动目录上页下页返回结束xxsin11sin1121例10.求解法1xxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动目录上页下页返回结束xxtansec解法2xxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx同样可证xxdcscCxxcotcscln或Cx2tanln机动目录上页下页返回结束例11xxdcscCxxcotcscln答案的另一种形式222d)(2123xax例12.求.d)(23223xaxx解:原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax23)(2222axa)(d22ax机动目录上页下页返回结束)2cos2cos21(241xx例13.求解:224)(coscosxx2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(21234