债券凸性的计算公式

债券凸性的计算公式：对于总期限为Ｔ的付息债券而言，其价格的变化主要取决于收益率y,如果第t年所得的现金流为C𝐹𝑡，它的现值为𝑃𝑡=𝐶𝐹𝑡1+𝑦，那么债券的理论价格就是各期现金流的现值和𝑃(𝑦)=𝐶𝐹11+𝑦+𝐶𝐹2(1+𝑦)2+𝐶𝐹3(1+𝑦)3+⋯+𝐶𝐹𝑡(1+𝑦)𝑡+⋯=∑𝐶𝐹𝑡(1+𝑦)𝑡T𝑡=1.下面我们来求𝑃(𝑦)的泰勒级数前三项展开式．𝑃(𝑦)的一阶导数为d𝑃d𝑦=𝐶𝐹1(1+𝑦)2−𝐶𝐹2(1+𝑦)3−𝐶𝐹3(1+𝑦)4−⋯−𝑡×𝐶𝐹𝑡(1+𝑦)𝑡+1−⋯111(1)TttttCFyy𝑃(𝑦)的二阶导数为d2𝑃d𝑦2=2×𝐶𝐹1(1+𝑦)3+2×3×𝐶𝐹2(1+𝑦)4+⋯+𝑡×(𝑡+1)×𝐶𝐹𝑡(1+𝑦)𝑡+2+⋯21(1)1(1)(1)TtttttCFyy根据泰勒级数公式，债券价格𝑃(𝑦)的近似计算公式为𝑃(𝑦)≈𝑃(𝑦0)+d𝑃d𝑦(𝑦−𝑦0)+12∙d2𝑃d𝑦2(𝑦−𝑦0)2将一阶导数和二阶导数代入上式，有：𝑃(𝑦)≈𝑃(𝑦0)−11+𝑦∑𝑡×𝐶𝐹𝑡(1+𝑦)𝑡T𝑡=1×(𝑦−𝑦0)+12(1+𝑦)2∑𝑡(𝑡+1)×𝐶𝐹𝑡(1+𝑦)𝑡×(𝑦−𝑦0)2．T𝑡=1或者𝑃(𝑦)−𝑃(𝑦0)𝑃(𝑦)≈−𝑦−𝑦0𝑃(𝑦)(1+𝑦)2∑𝑡×𝐶𝐹𝑡(1+𝑦)𝑡T𝑡=1(𝑦−𝑦0)22𝑃(𝑦)(𝑦−𝑦0)2𝑡(𝑡+1)×𝐶𝐹𝑡(1+𝑦)𝑡．令∆𝑃=𝑃(𝑦)−𝑃(𝑦0)，∆𝑦=𝑦−𝑦0．令1111(1)(1)(1)TTtttttttCFCFdPDPdyyyy是债券现金流的加权平均期限，被称为久期，表示不同的现金流支付的时间加权平均，其中的权数是该时间𝑡所支付的现金流𝐶𝐹𝑡的现值占整个现金流𝑃的百分比，修正值D*=D*(1+𝑦)−1，经济含义是债券产生的现金流的平均回收期，反映了债券价格对收益率𝑦的弹性，是研究债券特性和进行债券组合的重要指标．令22211(1)11(1)(1)(1)TTttttttttCFCFdPCPdyyyy𝐶被称为债券的凸性，债券凸性是时间乘积𝑡×(𝑡+1)的加权修正值，权数是现金流𝐶𝐹𝑡的现值占整个现金流𝑃的百分比，不同于久期的是，其修正值为(1+𝑦)−2．因此，债券价格的近似公式简化为：∆𝑃𝑃=−Ｄ∗×∆𝑦+𝐶２×(∆𝑦)2