2.3.1离散型随机变量均值和方差(2课时)(选修2-3)

1（第一课时）一、复习回顾1、离散型随机变量的分布列XP1xix2x······1p2pip······2、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．这次咱班期中考试第一名同学各门成绩为：10288109707851那平均成绩是多少？12...nxxxxn算术平均数：加权平均数期中数学考试成绩为70，平时成绩为60，大学规定：在学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占60%、平时成绩占40%，最终的数学成绩为多少？66%4060%6070x对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.引例1：某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗元糖果所属种类的单价（）,你能写出X的分布列吗？kg2618+24+363定价为可以吗？x182436p1/21/31/6假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗元糖果所属种类的单价（）,你能写出X的分布列吗？kg18×1/2+24×1/3+36×1/6=23182436X解：随机变量可取值为，和111182436236(),(),()PXPXPX而所以X分布列为=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)均值权数加权平均二、互动探索则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。X……P……1122iinnEXxpxpxpxp一般地,若离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx它反映了离散型随机变量取值的平均水平。1、离散型随机变量均值的定义归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤：①、确定离散型随机变量可能的取值。②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。③、求出均值(期望)。引例2、随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的均值X123456P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为E（X）=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能理解3.5的含义吗？设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？思考：P1xix2x······1p2pip······nxnpXnniipxpxpxpxXE2211)(P1xix2x······1p2pip······nxnpXP1xix2x······1p2pip······nxnpXYbax1baxibax2······baxnnnpbaxpbaxpbaxYE)()()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxabXaE)(123.随机变量数学期望的性质：⑴()ECC,(C为常数)⑵()()EaXbaEXb,(,ab为常数)⑶()()()EXYEXEY⑷若变量,XY是相互独立的，则()()()EXYEXEY134.几种特殊分布随机变量的数学期望⑴若X服从两点分布,则()EXp说明:()0(1)1EXppp⑵若~(,)XBnp,则EXnp⑶若X服从参数为,,NMn的超几何分布,则MEXnN三、基础训练1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则E(ξ)=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则E(η)=.5.8ξ47910P0.3ab0.2E(ξ)=7.5,则a=b=.0.40.115例1:某商家计划在周日进行户外促销活动,若下雨则亏损100元,若不下雨则获利300元.据天气预报周日下雨的概率为0.4.求此商家在周日活动中获利的数学期望.解:用随机变量X表示获利.则()3000.6(100)0.4140EX说明:此商家有希望获利140元,对于这个活动,商家不是获利300就是亏损100,但如果重复进行此类活动,从平均意义上讲,每次获利的数学期望为140元.四、例题讲解16例2:已知变量X的分布列如下:X101p1213a且设23YX,求Y的数学期望.解:先求a,1111236a,再求11110.501263EX则7(23)233EYEXEX已知随机变量X的分布列为求：(1)E(X)；(2)若Y＝5X＋4，求E(Y)．X024P0.4m0.3练习：[解析](1)由随机变量分布列的性质，得0.4＋m＋0.3＝1.∴m＝0.3，∴E(X)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8.(2)方法一：∵Y＝5X＋4，∴随机变量Y的分布列为：Y41424P0.40.30.3∴E(Y)＝4×0.4＋14×0.3＋24×0.3＝1.6＋4.2＋7.2＝13.方法二：∵Y＝5X＋4，∴E(Y)＝E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×1.8＋4＝13.[点评](1)求期望关键是求分布列，然后直接套用期望公式；(2)对于aX＋b型的随机变量，利用期望的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解较简捷．20例3：据天气预报,某地区下月有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01,为保护该地区工地上的一个大型设备,有如下三种方案:方案1:运走设备,需花费3800元;方案2:建一座保护围墙,需花费2000元;但围墙不能防御大洪水,如遇大洪水,损失费为60000元;方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水.如遇大洪水,损失费为60000元;如遇小洪水,损失费为10000元;问:应采取哪种方案较为合理?21分析:⑴如下月没有洪水,那么方案3最好⑵如下月有小洪水,那么方案1需花费3800元,方案2需花费2000元,方案3需花费10000元,所以此条件下方案2最好.⑶如下月有大洪水,那么方案1可以避免最大损失,所以此条件下方案1最好.方案1:运走设备,需花费3800元;方案2:建一座保护围墙,需花费2000元;但围墙不能防御大洪水,如遇大洪水,损失费为60000元;方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水.如遇大洪水,损失费为60000元;如遇小洪水,损失费为10000元;22方案1:运走设备,需花费3800元;方案2:建一座保护围墙,需花费2000元;但围墙不能防御大洪水,如遇大洪水,损失费为60000元;方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水.如遇大洪水,损失费为60000元;如遇小洪水,损失费为10000元;从分析不难看出：各个方案都有选择的理由。只能比较各个方案的平均损失了。方案1的平均损失:3800EX（）元.ECC（）,(C为常数)方案2的平均损失:600000.0100.99600EX,需60020002600元方案3的平均损失:600000.01100000.2500.743100EX元,23方案1的平均损失:3800EX元.方案2的平均损失:20002600EX元方案3的平均损失:3100EX元,综上不难看出:采取方案2平均损失最小，可以选择方案2.值得注意的是:上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．24例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分奎屯王新敞新疆学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次单元测验中的成绩的期望奎屯王新敞新疆解：设甲和乙在这次英语测验中能答对的题数分别是,XY，则~(20,0.9)XB,~(20,0.25)YB200.918EX,200.255EY由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5X和5Y.所以他们在测验中的成绩的期望分别(5)5()51890EXEX(5)5()5525EYEY注:乙及格概率为0.00082.答对5道题概率最大某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值；(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率．练习：[解析](1)X的可能取值为－300、－100、100、300.P(X＝－300)＝0.23＝0.008，P(X＝－100)＝3×0.22×0.8＝0.096，P(X＝100)＝3×0.2×0.82＝0.384，P(X＝300)＝0.83＝0.512.所以X的概率分布为X－300－100100300P0.0080.0960.3840.512[分析](1)求X的可能取值，即是求得分，答对0道题得－300分，答对1道题得100－200＝－100分，答对两道题得2×100－100＝100分，答对3道题得300分；(2)总分不为负分包括：总分为100分和总分为300分两种情况．E(X)＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180.(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.28（第二课时）291.数学期望:是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值.【复习】2.数据的方差的概念：设一组数据12,,nxxx,它们的平均值为12nxxxxn各数据与它们的平均值的差的平方分别是:22212(),(),()nxxxxxx，则:2222121[()()()]nSxxxxxxn叫做这组数据的方差.30数学期望的定义:若离散型随机变量ξ的概率分布为:Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称()EX11px22px…nnpx…为X的数学期望，简称期望．随机变量X的数学期望的性质:①ECC,(C为常数)②()()EaXbaEXb,(,ab为常数)③若~(,)XBnp,则EXnp④若X服从参数为,,NMn的超几何分布,则()MEXnN31【新课讲解】二、离散型随机变量的方差1.离散型随机变量方差的定义：对于离散型随机变量X，如果X所有可能取的值是1x，2x，…，nx，…，且取这些值的概率分别是1p，2p，…，np，…，那么,2221122()()()()nnDXxEXpxEXpxEXp称为随机变量X的均方差，简称为方差，式中的EX是随机变量X的数学期望．注:方差是用来衡量X与EX的平均偏离程度的特征量.()DX越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散;()DX越小,表明平均偏离程度越小,X的取值越集中;()DX和()EX一样,也是一个实数,由X的分布列唯一确定.32二、离散型随机变量的方差2.离散型随机变量标准差的定义：规定:2221122()()()()nnDXxEXpxEXpxEXp称为随机变量X的均方差，简称为方差.()DX