1.1.3导数的几何意义(一)

3.1.3导数的几何意义(一)xxfxxflimxylimxf0x0x0００－＋＝＝即：000xxyfxxxfxy＝函数＝在＝处的导数，记作：或表示“平均变化率”ｘｘ－ｆｘ＋ｘｆ＝００xy附近的变化情况。＝反映了函数在处的瞬时变化率，＝在表示函数＝000x0xxxxxfxylimxf2一、复习回顾导数的定义其中：⑴其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。其几何意义是？P1P2P3P4PTTTTPPxfyxfyxfyxfyOyxOyxOyxOyx211.图1234?,,,,,,,.什么是趋势化变的割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxP004321211yxo)(xfyP相交动画演示PQoxyy=f(x)割线切线T一、曲线上一点的切线的定义结论:当Q点无限逼近P点时,此时直线PQ就是P点处的切线PT.点P处的割线与切线存在什么关系？二.新授讲授xoyy=f(x)设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点P(x0,y0)及邻近一点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割线当点Q沿着曲线无限接近于点P点P处的切线。即△x→0时,如果割线PQ有一个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义△x△yPQT此处切线定义与以前的定义有何不同？切线Pl能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。不能xyo直线与圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线。所以，不能用直线与曲线的公共点的个数来定义曲线的切线。圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABCxoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割线与切线的斜率有何关系呢？xxfxxfkPQ)()(xy＝即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim＝所以：xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T想方法－－以直代曲！中的重要思近似代替。这是微积分的切线就可以用过点曲线附近，。因此，在点附近的曲线最贴紧点的切线过点，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比，更贴紧曲线比附近，在点观察图像，可以发现，PTPxfPxfPPTPxfPQPQxfPQPQxfPQPQP342312继续观察图像的运动过程，还有什么发现？.,,..,.以直代曲想方法这是微积分中重要的思附近的曲线点这替近似代切线我们用曲线上某点处的这里近似代替无理数用有理数如例刻画复杂的对象数学上常用简单的对象14163当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.例1:求曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线斜率及切线方程.Py=x2+1xy-111O.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线的斜率k=2切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线上某点处的切线方程的步骤:①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)；②利用点斜式求切线方程。【典例精析】练习1．求抛物线y=x2过点(1，1)的切线的斜率。解：过点(1，1)的切线斜率是f’(1)=200(1)(1)(1)1limlimxxfxfxxx0lim(2)2xx因此抛物线过点(1，1)的切线的斜率为2.练习2．求双曲线y=过点(2，)的切线方程。1x21解：因为00011(2)(2)1122limlimlim2(2)4xxxfxfxxxx所以这条双曲线过点(2，)的切线斜率为－，2114由直线方程的点斜式，得切线方程为114yx例1:求曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线斜率及切线方程.Py=x2+1xy-111O.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线的斜率k=2切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线上某点处的切线方程的步骤:①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f’(x0)；②利用点斜式求切线方程。【典例精析】若点不在曲线上呢？点在曲线上的切线方程(3,5)P例2：试求过点且与曲线相切的直线方程。2yx00022000200000()()lim()()lim2()limlim(2)2xxxxfxxfxkxxxxxxxxxxxx200000523152,1021010250xxxxxkkxyxy或，，（1,1)或(5,25)y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5)或切线斜率：解得切线过点直线方程即解：因为点不在曲线上，设此切线过抛物线上的点，则(3,5)P200(,)xx思路：设出切点利用导数的几何意义和已知条件去求点不在曲线上的切线方程例3．y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标.解：设点P的坐标(x0，x03)∴斜率3=xxfxxfx)()(lim00033000()limxxxxx22300033()()limxxxxxxx2220000lim[33()]3xxxxxx∴3x02=3，x0=±1.∴P点的坐标是(1，1)或(－1，－1).课堂小结:（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy2、求切线方程的步骤：1、导数的几何意义是什么?3、数形结合、以直代曲的数学思想方法.附近的变化情况,,在述、比较曲线请描,据图象根.图象的105.69.4数时间变化的函示跳水运动中高度随它表,31.1如图1例2102tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311.图.,的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线.,,,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210三.例题讲解.,,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxltthtt.,,.`,附近单调递减在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当11111102ttthttthltthtt.,,.`,单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当12222203ttthttthltthtt.,,.附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图2121311ttthll0l1l2lthO0t1t2t311.图hto3t4t附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增点附近曲线上升，即函，所以在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是4343tttt80.80.50.0010.20.30.40.60.70.90.01.11.10.20.30.40.50.60.70.90.01.11.mlmgc/mint411.图.1.0精确到率物浓度的瞬时变化血管中药,时min8.0.6.0,4.0,2.0估计,根据图象.函数图象变化的min:单位随时间)/:位单(物浓度表示人体血管中药它,41.1如图2例ttmlmgtfc它表示从图象上看在此时刻的导数药物浓度就是度的瞬时变化率血管中某一时刻药物浓解,.,tf.在此点处的切线的斜率曲线tf.,,,.时变化率的近似值瞬可以得到此刻药物浓度估计这条切线的斜率利用网格线画出曲线上某点处的切如图411...,.,.'41804180ft所以它的斜率约为处的切线作.,,这些值是否正确一下验证时变化率的估计值下表给出了药物浓度瞬417004080604020.......'tft药物浓度的瞬时变化率