高一数学必修4直线的参数方程(优质课)

2.3.1直线的参数方程选修4-4请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yykxxykxb1xyab一般式:0()AxByCAB，不同时为零2121yyxxtan温故知新问题情景000()Mxy已知一条直线过点，，倾斜角，求这条直线的方程.00tan()yyxx解：直线的普通方程为00sin()cosyyxx把它变成00sincosyyxx进一步整理，得：00.sincosyyxxtt令该比例式的比值为，即00cos()sinxxttyyt整理，得到是参数M0(x0，y0)M(x,y)e(cossin)，00000()()()MMxyxyxxyy，，解：在直线上任取一点M(x，y)，则(cossin)ele设是直线的单位方向向量，则，00//MMetRMMte因为，所以存在实数，使，即00()(cossin)xxyyt，，00cossinxxtyyt所以，00cossinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，该直线的参数方程(为为参数)xOy0MMtelt由，你能得到直线的参数方程中参数的几何意义吗？探究思考|t|=|M0M|M0Me00||||MMteMMte解：，，||1ee又因为是单位向量，，0||||||||.MMtet所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.这就是t的几何意义，要牢记xOy我们是否可以根据t的值来确定向量的方向呢?是直线的倾斜角，当0时,sin0又sin表示e的纵坐标，e的纵坐标都大于0那么e的终点就会都在第一，二象限，e的方向就总会向上。分析:此时,若t0,则的方向向上;若t0,则的方向向下;若t=0,则M与点M0重合.0MM0MMel我们知道，是直线的单位方向向量，那么它的方向应该是向上还是向下的？还是有时向上有时向下呢？21.:10(12)lxyyxABABMAB例已知直线与抛物线交于，两点，求线段的长度和点，到，两点的距离之积.分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解；2.分别如何解.ABM(-1，2)xyO解：因为把点M的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所以点M在直线上.31cos4()32sin4xttyt为参数34易知直线的倾斜角为，所以直线的参数方程可以写成：21.:10(12)lxyyxABABMAB例已知直线与抛物线交于，两点，求线段的长度和点，到，两点的距离之积.M(-1，2)ABxOy212()222xttyt即为参数22220.yxtt把它代入抛物线方程，得1221021022tt解得，，t由参数的几何意义得12||||10ABtt，1212||||||||||2.MAMBttttM(-1，2)ABxOy探究思考12121212()0.(1)(2)fxyMMttMMMMMt直线与曲线，交于，两点，对应的参数分别为，曲线的弦的长是多少？线段的中点对应的参数的值是多少？121212(1)||||(2).2MMttttt；222(21)1164yxMlABMABl例经过点，作直线，交椭圆于，两点.如果点恰好为线段的中点，求直线的方程.22121222cos(21)1sin()(3sin1)4(cos2sin)80||||||||4(cos2sin).3sin1xtMlytttttMAtMBtMtt解：设过点，的直线的参数方程为为参数代入椭圆方程得由的几何意义知，，因为点在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以1202cos2sin01tan211(2)240.2ttMABlklyxxy因为点为线段的中点，所以，即，于是直线的斜率为，因此直线的方程为，即课堂小结:1.直线参数方程3.注意向量工具的使用.00cos()sinxxttyyt是参数2.利用直线参数方程中参数t的几何意义，简化求直线上两点间的距离.第二课时例3.当前台风中心P在某海滨城市O向东300Km处生成,并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?pMOypMOyxyoMP045)0(135sin40135cos40300{),(250250)0,300(00222tttytxlMyxMtyxOOOOMOkmOPxOPO为参数，的方程为移动形成的直线条件知台风中心，根据的坐标为后，台风中心设经过时间的方程为圆将受到台风侵袭。上时，城市内或以圆在圆移动后的位置，当台风中心为半径作圆为圆心，以的坐标为角坐标系，如图，则点轴，建立直所在直线为为原点，解：取侵袭后该城市开始受到台风所以，大约在的范围约为由计算器计算得，解得时有上内或在圆在圆当点为参数，即htttttOOttMtttytx26.80.2475215475215250)220()220300()220,220300()0(220220300{222思考：在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？4,.ABCDOPBPCPD例，如图，是中心为点的椭圆的两条相交弦，交点为P,两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为1,2,且1=2。求证：PACBADpO12CBADpO12有两个根因此方程由于并整理，得到代入将为参数的参数为则直线的坐标为点设则椭圆的方程为轴、短轴的长分别为角坐标系，设椭圆的长证明：如图建立平面直)3(,0sincos)3.......(..............................0)()sincos(2)sincos()1()2()2).....((sincos{),,(,1),1.........(....................1,2,222222220220202022222200002222babayaxbtyaxbtabttyytxxAByxPbyaxbaPDPCPBPAabbayaxbabbayaxbPDPCCDabbayaxbttPBPAtt得到、由，即得到－换为，将同理，对于直线，容易得到设这两个根分别为)5()4()5.....(....................sincos)(sin)(cos)4...(sincos,2222222022022222222022022222222022022121探究：如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？）到此直线的距离（）求点（程）写出该直线的参数方（）共线且与向量（直线过点1,2214,2),3,1(PA练习1：的方程。求直线两点，若于为参数交椭圆作直线过点lPBPABAyxlP,7164,)(sincos2)3,3(练习2：。的切线方程及切点坐标）求过点（中点坐标；两点，求、交于）直线与圆（的直线且倾斜角的余弦是已知经过ABCCByxA225153)3,5(22练习3：