小学数学计算教学的问题和对策

熟悉的地方也有风景——小学数学计算教学的问题和对策杭州江干区教师进修学校田小勤问题一：算法、算理的厚此薄彼之现象问题二：算用结合陷入两难之境地问题三：口算、估算、笔算、简算泾渭分明问题四：计算教学的练习设计基础与发展的失衡问题一：算法、算理的厚此薄彼之现象（一）问题描述计算教学改革历经两个明显阶段。第一阶段：教材选定算法——教师讲解算法——学生模仿算法——练习强化算法。教师的典型语言是“你算对了吗？”，其核心是掌握算法，能正确计算，并追求计算的速度。第二阶段是倡导“算法多样化”的教学理念。教师的典型语言是“还有不同的方法吗？”，其核心是促进学生自主探究算法、培养创新精神。综观两个阶段，都是极大的凸显了“算法”，而算理似乎仅仅是算法的附庸，在教学中处于可有可无的境遇。一道试题引发思考江干区2008年6月小学数学三年级三部测查试题:区正确率３5.1%最低的班级正确率13.3%典型错误:买4套服装要272元；买40套套服装要272元；买4套服装要2720元；买45套服装要2720元；买45套服装要3060元。试题二：列竖式计算。543÷3520÷5844÷628×4375×8437×69阅卷结果统计：全区全对率是73．4%（全对的学生人数占总人数的百分比），得分率是93．7%。结论：计算技能很坚实，算理的理解有缺失。师：2×30等于60，你们是怎么算的？生1：先算2×3等于6，再添一个0等于60。师：你们听懂这位小朋友的算法了吗？指名复述（略）师：你们都同意这种算法吗？生齐（响亮而整齐地）：同意！师（作疑惑状）：一会儿把0去掉，一会儿又把0添上去，真的可以这样算吗？生齐（声音明显小了许多）：应该可以的吧。（可以看出，不少学生已经开始了新的思考。）师：可以这样算吗？说说你们的理由。生1：前面去掉的是1个0，后面添上去的也是1个0，没有多也没有少，肯定是可以的。生2：我是用加法算的，2×30就是2个30相加，结果也是等于60。师：这位小朋友很会动脑筋，想到用加法来验证结果的正确性。但还是没有说清楚为什么可以添上0、去掉0。生3（急着站了起来）：老师，我妈妈早就教过我了，就是这么算的！生4（挑战般地）：万一你妈妈教错了呢！生5（发现新大陆般）：老师，我知道可以怎么想了！我们可以先把30看作3个十，3个十乘2等于6个十，6个十就是60。教室里十分安静，多数学生露出了恍然大悟的神情，仿佛在说：噢，原来是这么回事啊！但也看得出还有不少学生依然似懂非懂的样子。师：谁再能说一说？（停顿）老师这里有一些小棒，每一小捆都是10根，你可以借助这些小棒来说道理。生6借助小棒表述算理（略）。（二）教学思考：如何兼顾算理和算法，使两者相得益彰。1．什么是算理?什么是算法?算法是解决问题的操作程序，算理是算法赖于成立的数学原理。简单的说，算法是指向“怎么算”，算理是指向“为什么可以这样算”。算理是客观存在的规律，算法是人为规定的操作方法；算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度；算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括。2．促进算理理解的有效策略。（1）创设情境，以支持算理的理解。10×3=30（枝）2×3=6（枝）30+6=36（枝）多位数乘一位数的笔算三个情境的取舍：每盒12支水彩笔，有3盒，一共有几支？每人2本书，有41人，一共有几本？王老师买数学作业本，一个班需要32本，3个班要买多少本？思考：你会选哪一个，为什么？情境创设要有利于对算理的理解和表达。30本30本30本（2）借助学具或图形，使算理理解更加直观。在教学《乘数是一位数的口算乘法》，如30×2，大部分学生都采用“先算3×2等于6，后面再加一个0”的方法，但至于“为什么可以先不看0，后又要添0？”这个问题学生却百思不得其解。于是老师围绕3个问题进行引导：（1）30乘2表示什么意义？（2个30或30个2）（2）如果用小棒表示2个30，可以怎样摆？（2个3捆）（3）根据小棒图理解“3×2表示什么？为什么末尾要添0？”学生借助小棒进行解释：30看作3个十，3个十乘2等于6个十，6个十就是60。还可以借助矩形模型，帮助学生理解竖式计算的算理。如12×14，可以设计以下图形：12×1448（表示4个12）120（表示10个12）168将抽象的竖式与形象直观的图形结合，使竖式中的每一部分都和图形中的相应部分对应，181818×3×3×3944434错误算法分析：（1）个位满十进2，十位先加后乘：1+2=3，3×3=9。（2）只进了“1”；（3）忘了进位;或者3乘8满20,十位就是1+2=3。分析错例不是简单的告知，而是从算理上知错改错。（3）呈现错例，从算理的角度知错纠错。引导：结合问题情境（每个班有18人参加集体舞表演，三年级3个班有多少人参加？）理解先算3×8，表示3个8人是24人；如果十位先加进上来的“2”再乘3，就表示3个30人，与题意和主题图不符合了。所以十位应该先乘后加。（4）沟通不同算法背后的算理，使算理趋向统领。一种计算类型就会有相应的算法，让学生感到烦杂，以至混淆。而实际上有很多看似不同的算法，它们的算理是相同的，所以需要教师要有“回回头，比一比”的求联意识。教学编写进度计算类型计算方法一上《11-20各数的认识》11+2=1313-2=11先算个位上的数，再算10加几。一下《100以内数的认识》30+2=3232-2=30想数的组成，如3个十和2个一组成32。一下《100以内的加法和减法》10+20=3030-10=20先算十位上的数，再在个位上写0。一下《100以内的加法和减法》（1）32+5=37（2）32+50=82（1）先算个位，再加几十。（2）先算十位，再加几。一下《100以内的加法和减法》24+9=33先算个位，再加几十，注意进位。一下《100以内的加法和减法》（1）35-2=33（2）35-20=15（1）先算个位，再加几十。（2）先算十位，再加几。一下《100以内的加法和减法》36-8=28先算个位，再加几十，注意退位。3．促进掌握算法的有效策略。（1）引导比较多种算法之间的联系。在交流多种算法和选择某种好方法之间，还需有一个过程，那就是引导学生对这些算法进行比较、分类，理解内在的联系，把握差异，以便学生更好的掌握和选择算法。口算：85×20=170085×6=5101700+510=2210笔算：对计算过程及表示的实际意义建立对应联系。案例《除数是两位数的除法》1.问题情境：175本书，准备每32本装一包，可以装几包？还剩几本？2.请学生尝试计算，呈现5种方法。方法一：32×6=192方法二：175≈（5）×3232×5=16032×5=160175-160=15175-160=15方法三：175÷32≈5方法四：方法五：30×5=150552×5=1032）17532）175150+10=16016015175-160=15152510153.联系与沟通分别让学生说说思考过程，并适时提问，如：方法二、三、四中，你是怎样想到“5”？这一步表示什么？方法五中的两个“15”分别表示什么意思？商“5”应该写在什么位置？提问的目的有两个，一是修正算法中的错误（如方法五商的位置）；二是让学生理解多种方法;三是感受方法之间的联系：都要先估计大约装几包；估计时把除数“32”看作“30”比较便捷；都要算出5包有几本；最后算出还剩多少本。使学生结合情境理解了除数是两位数除法的计算程序，还突破了“如何定商”这个教学难点，顺利掌握了算法。（2）循序渐进，逐步完善算法。从算理理解到掌握算法，并不是一个自动转化的过程，而需要引导完善。算法从合理走向简捷。在教学“两位数加两位数的笔算”，学生理解算理并不难，知道十位上的数可以相加，个位上的数可以相加，因为它们的计数单位是相同的。但是要学生认同“从个位算起”，不能仅仅依赖教师的规定，而是通过比较不进位和进位加法的过程，令学生真切感受到从个位算起会简捷一些。算法从“原生态”走向规范。学生原生态的算法往往是算理的直接反映，对学生个体来说是一种创造。而约定俗成的算法往往就是一种规定，与学生的理解不能完全相符，需要教师引导。（3）挖坑又掘井，适时提炼算法。对比新旧教材不难发现，完整的计算法则从现行的数学课本中消失了！这是不是意味着计算不需要法则了呢？教材编写者之所以把计算法则从课本中请出去，是基于传统计算教学中对计算法则的过度重视和依赖，试图改变要求学生一字不拉的背诵、默写法则的现象，倡导把教学重心转到对算理的理解、对算法交流比较，促使学生个体对法则有一个感悟的过程。但凡是技能就一定会有相应的法则，适时的提炼有助于技能的正确和熟练。结合具体的计算过程进行提炼。如在教学《多位数乘一位数》例题教学后，27×215×5214×3，改作以下算式：18×5192×4412×3具体意图：18×5的特点是个位相乘满“40”，积的末尾为“0”；192×4的特点是三位数乘一位数，并且是十位相乘满“30”；412×3的特点是百位相乘有进位，并且对“12”的书写位置做进一步明确。通过这组练习，可以进一步提炼：哪一位上的数相乘满几十就向前一位进几。计算教学的练习设计中，把握同类计算的特殊类型，使学生的计算困惑能在课堂教学中得以呈现和解决。提炼法则不求一步到位。感悟计算法则是建立在一定量的练习之上，先感受到的往往是最重要或最容易错的某一点，然后随着多个例题的教学、练习课，技能趋向熟练，对法则的感受也会日益全面。计算教学中兼顾算理和算法，让学生“知其然，并知其所以然”，可以使学生掌握的数学知识更具可持续发展的张力。问题二：算用结合陷入两难之境地（一）问题描述应用题是传统小学数学课程的重要内容，专门设计独立单元进行编排。而现行的课标试验教材不再单独设立应用题单元，而是注重让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并解决简单的问题”。面对改革，一线教师在观念上已经达成共识，但在具体教学把握中还存在一些偏差。解决问题成为引出计算的“幌子”。观察当前的计算课，基本形成了教学程序，即问题情境——列式计算（明算理，探算法）——基本计算练习——解决问题。解决问题成为计算技能形成的“障碍”。(1)千呼万唤始出来;(2)过早应用,忽略技能的训练。围棋的棋盘面由纵横各19道线交叉组成，棋盘上一共有多少个交叉点？（二）教学思考：如何处理计算教学中算与用的关系？１．计算教学中实现“算”与“用”的双赢。（1）解决问题对计算的促进作用。解决问题中感受计算的必要性解决问题中理解“怎样计算”（2）计算教学促进解决问题能力的提高。在“以用引算”中加强数学信息的处理和数量关系的分析。在“以用明算”中关注运算与实际意义的理解。在“以用促算”中丰富解决问题的策略和经验。在“以算激用”中沟通、比较多种数量关系。2．计算教学中恰当选择解决问题的时机。如在教学《除数是一位数的除法》，创设情境“四年级2个班共种树52棵，平均每班种多少棵？”，通过分析后列出算式52÷2，在探究计算方法时，适时的理解下面的问题。如：十位上5除以2表示什么？——50棵树平均分给2个班，平均每班分到多少棵？十位上5减4表示什么？——50棵树，分掉了40棵，还剩多少棵？竖式中下面的“12”是怎样来的？表示什么？——每班种6棵，2个班共种了12棵。……学生在理解算理的同时，又是对多个数学问题的分析和解决的过程。课堂中呈现两种思路：（1）1000-35×28=20（元），（2）35×28+10=990（元），引导学生交流具体思考过程，发现两种思路都很合理。在解决这样的问题中，不仅强调了数量关系，还悄然地丰富了学生解决问题的策略和经验。《两位数减两位数》的教学中，设计一个解决问题“小红连续跳绳50下，小明连续跳绳35下，小红比小明多跳多少下？”学生列式计算“50-35=15”后，继续设问：算式“50-35”还可以解决哪些数学问题呢？学生就会从不同的视角提出不同数量关系的数学问题，