【名师A计划】2017高考数学一轮复习 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质课件 理 选

选修4-1几何证明选讲第一节相似的三角形的判定及有关性质考纲概述考查热点考查频次备考指导(1)了解平行线截割定理;(2)会证明并应用直角三角形射影定理.平行线截割定理★★平行线截割定理、相似三角形的性质定理是进行线段转化的主要方法,而相似三角形的判定定理和性质定理通常又是交织在一起,先证明三角形相似,再利用相似的性质定理求解.直角三角形的射影定理实质是直角三角形中相似三角形的性质定理的应用,高考几乎不考.相似三角形的判定与性质★★★直角三角形的射影定理★1.平行线截割定理定理内容平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.推论2经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.2.相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理定理内容预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.判定定理1对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.判定定理2对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.(2)直角三角形相似的判定定理定理内容判定定理1如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似.判定定理2如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.判定定理3如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.(3)相似三角形的性质定理定理内容性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.性质定理2相似三角形周长的比等于相似比.性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方.推论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方.3.直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.1.如图,AB∥CD∥EF,AF,BE相交于点O,若AO=OD=DF,BE=10,则BO的长为()A.103B.5C.52D.31.A【解析】由AB∥CD∥EF知△ABO,△DCO和△FEO互为相似三角形,可得BO=13𝐵𝐸=103.2.下列命题正确的是()A.所有的直角三角形都相似B.所有的等腰三角形都相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似2.C【解析】此题容易混淆的是D,D中所有的有一个角为30°的等腰三角形有两类:一类是顶角为30°,而另一类是底角为30°,那么这两类等腰三角形不相似.3.如图,在平行四边形ABCD中,F是BC边上的点,延长DF与AB的延长线相交于点G,则相似三角形有对.3.6【解析】包括全等三角形在内,有6对相似三角形,其中上、下看:△GBF∽△GAD,△EFC∽△EDA;左、右看:△GFB∽△DFC,△GAE∽△DCE,△GAD∽△DFC.又因为DC∥AG,所以△ABC∽△CDA,于是共有6对三角形相似.4.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAC=∠ADC,AC=8,BC=16,那么CD=.4.4【解析】由已知得△ABC∽△DAC,所以𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐷𝐶𝐴𝐶,即816=𝐷𝐶8,DC=4.考点1平行线截割定理典例1如图1,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AD和BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F,我们可以证明1𝐴𝐵+1𝐶𝐷=1𝐸𝐹成立,若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB∥CD,AD与BC交于点E,过点E作EF∥AB交BD于F,则(1)1𝐴𝐵+1𝐶𝐷=1𝐸𝐹还成立吗?如果成立,给出证明;如果不成立,请说明理由.(2)请找出S△ABD,S△BDC和S△BDE之间的关系,并给出证明.【解题思路】(1)利用平行线分线段成比例定理以及比例的性质证明;(2)利用平行线的性质以及三角形的面积公式求解.【参考答案】(1)成立.证明如下:由AB∥EF∥CD得𝐸𝐹𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐷𝐵,𝐸𝐹𝐶𝐷=𝐵𝐹𝐷𝐵,两式相加得𝐸𝐹𝐴𝐵+𝐸𝐹𝐶𝐷=𝐷𝐹𝐷𝐵+𝐵𝐹𝐷𝐵=𝐷𝐹+𝐵𝐹𝐷𝐵=𝐷𝐵𝐷𝐵=1,∴𝐸𝐹𝐴𝐵+𝐸𝐹𝐶𝐷=1,两边同除以EF得1𝐴𝐵+1𝐶𝐷=1𝐸𝐹.(2)1𝑆△𝐴𝐵𝐷+1𝑆△𝐵𝐷𝐶=1𝑆△𝐵𝐷𝐸.证明如下:作AG⊥BD于G,EH⊥BD于H,CK⊥BD交BD延长线于K.由平行线性质得𝐸𝐻𝐴𝐺=𝐷𝐸𝐷𝐴=𝐷𝐹𝐷𝐵,𝐸𝐻𝐶𝐾=𝐵𝐸𝐵𝐶=𝐵𝐹𝐵𝐷,∴𝐸𝐻𝐴𝐺+𝐸𝐻𝐶𝐾=1,∴112𝐵𝐷×𝐴𝐺+112𝐵𝐷×𝐶𝐾=112𝐵𝐷×𝐸𝐻,∴1𝑆△𝐴𝐵𝐷+1𝑆△𝐵𝐷𝐶=1𝑆△𝐵𝐷𝐸.平行线分线段成比例定理的应用及解法(1)直接计算或证明:先观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段以及比例式,注意合分比性质的应用;(2)需要添加辅助线的计算或证明:辅助线一般是作平行线,要结合条件构造平行线组,再利用平行线分线段成比例定理以及推论转化为比例式.(2015·湛江测试)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,且EF∥AD,若𝐴𝐸𝐸𝐵=34,则EF的长是.237【解析】连接𝐴𝐶与𝐸𝐹相交于点𝑂,则由𝐸𝑂∥𝐵𝐶,得𝐸𝑂𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐴𝐵,所以𝐸𝑂=𝐵𝐶·𝐴𝐸𝐴𝐵=5×37=157.同理由𝐹𝑂∥𝐴𝐷得𝐹𝑂𝐴𝐷=𝐶𝐹𝐶𝐷=𝐵𝐸𝐵𝐴,则𝐹𝑂=𝐴𝐷·𝐵𝐸𝐵𝐴=2×47=87,所以𝐸𝐹=𝐸𝑂+𝐹𝑂=157+87=237.【变式训练】典例2如图所示,▱ABCD中,BC=12,E,F为BD的三等分点,连接AE并延长交BC于点M,连接MF并延长交AD于点N,则DN=.【解题思路】先通过证明△ADE∽△MBE可求得BM=6,再通过证明△BMF∽△DNF可求得DN=3.由AD∥BC可知△ADE∽△MBE,则𝐵𝑀𝐷𝐴=𝐵𝐸𝐷𝐸,又因为点𝐸为𝐵𝐷的三等分点,可知𝐵𝑀𝐷𝐴=𝐵𝐸𝐷𝐸=12,即𝐵𝑀=6,同理由△𝐵𝑀𝐹∽△𝐷𝑁𝐹可得𝐷𝑁𝐵𝑀=𝐷𝐹𝐵𝐹=12,则DN=3.【参考答案】3考点2相似三角形的判定与性质证明三角形相似的解题思路优先找角相等,其次找边成比例,即先找两对内角对应相等;若只能找到一个角对应相等,则再判断这个角的两边对应成比例;若找不到角对应相等,则证明三边对应成比例.【变式训练】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E.(1)求证:△EAB∽△ECA.(2)△ABE和△ADC是否一定相似?如果相似,加以说明;如果不相似,那么增加一个怎样的条件,△ABE和△ADC一定相似.【解析】(1)∵在△ABC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,∴BD=CD,AD=CD,∴∠C=∠DAC.又∵AE⊥AD,∴∠EAB+∠BAD=90°,∠BAD+∠DAC=90°,∴∠EAB=∠C,又∵∠AEB=∠CEA,∴△EAB∽△ECA.(2)由(1)得∠EAB=∠CAD,此时不能判定△ABE与△ADC相似,当增加∠ABE=∠ADC或AB=AD或∠E=∠C或𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐷条件时,△ABE和△ADC一定相似.考点3直角三角形的射影定理典例3如图,CD垂直平分AB,点E在CD上,DF⊥AC,DG⊥BE,F,G分别为垂足,求证:AF·AC=BG·BE.【解题思路】将图形分解为两个基本图形,分别利用直角三角形的射影定理,再通过代换线段的平方(AD2=DB2)即可证明.【参考答案】由题意可得,△ACD和△BDE均为直角三角形,并且AD=BD.又因为DF⊥AC,DG⊥BE,所以AF·AC=AD2,BG·BE=DB2.又AD2=DB2,所以AF·AC=BG·BE.应用射影定理解题的步骤(1)确定直角边和它的射影;(2)利用射影定理得等积式;(3)根据需要看是否需要将等积式与比例式进行转化.【变式训练】如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,DE⊥AC于E,DF⊥BC于F.求证:△CEF∽△CBA.【解析】因为CD⊥AB,DE⊥AC,所以CD2=CE·CA.又因为CD⊥AB,DF⊥BC,所以CD2=CF·CB,所以CE·CA=CF·CB,则𝐶𝐸𝐶𝐵=𝐶𝐹𝐶𝐴,又∠ECF=∠BCA,所以△CEF∽△CBA.