Lebesgue测度

63第二章测度论引言实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼（Riemann）积分进行推广，而建立一种应用范围更广，使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论.数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数，但随着理论的发展，Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显，主要表面在以下两个方面：一方面是对被积函数的连续性要求太强，以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积；另一方面是应用起来有很大的局限性，这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分，以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面，一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性，而这一要求在实际问题中常常得不到满足，或虽然满足要想验证又非常的繁复，因此，无论在理论方面还是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.通常对Riemann积分的改进可从两方面着手，一方面是对积分范围划分的改进。在Riemann积分中，对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分，即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块.这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于Dirichlet函数不可积.所以有必要对“有面积或体积”划分的含义进行扩充，即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充，使之适合于更广的一类集合，由此便产生了本章要介绍的集合的测度；另一方面是对被积函数进行改进.Riemann积分中的被积函数对连续的要求很苛刻，以致于函数的连续性稍微不好，就会导致函数不可积.所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充，使之适合于更广的一类函数，由此产生了第三章要介绍的可测函数.本章主要介绍集合的Lebesgue测度，它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广（即能保持通常意义下“体（面）积”的特性：①非负性；②当集合为区间时，其测度即为区间的体积；③完全可加性即当{iE}为一列互不相交的64有测度的集合时，1iiE的测度恰好为每个集的测度之和）.§1外测度一、外测度的定义记nR中的开区间nibxaxxxxIiiin,,2,1,),,,(21其中iiba为有限数.若上述记号中等号可能出现，则称I为区间，显然1RRn时，I即为1R上的区间.另外还规定niiiabI1)(为区间I的体积.定义1设EnR，iI是nR中覆盖E的任一列开区间，即1iiIE，记1iiI（可以取+），显然所有这样的构成一个有下界的数集，则它的下确界称为E的Lebesgue外测度，记为.,inf**11iiiiIEIEmEm即注定义中覆盖E的开区间列，可以只有有限个开区间，也可以有可数个开区间，显然，对任意nRE，Em*均存在，且可以取+.二、外测度的基本性质定理外测度具有如下性质：（1）对任意nRE都有0*0*mEm且（非负性）,（2）设nRAB，则AmBm**（单调性）,（3）设niRA，则11*)(*iiiiAmAm（次可加性）,（4）设nRBA,，若0),(BA，则BmAmBAm**)(*（隔离性）.65证明（1）显然成立。下面只证（2）（3）（4）（2）因为对任意覆盖A的开区间列1,iiiIAI即，由于AB所以1iiIB，从而1*iiIBm，11,*inf*iiiiIAAmIBm.(3)由外测度的定义知，对任意给定的正数，存在覆盖iA的开区间列)(imI使,2,1,2*1)(iAmIiimim显然1111)(11)(111)(*)2*()()(iiiiiimimimimiiimimAmAmIIAI且所以11)(11*)(*iimimiiiAmIAm.（4）仅在1R上证明.对任意0，存在开区间列nI，使1nnIBA且)(*1BAmInn，因为0),(dBA,若nnIdI则,保留;若,dIn则用分点将nI分成有限个小的开区间kJJJ,,21,使)2,1(kidJi,并且各分点再用1k个长度小于d的开区间121,kLLL盖住,使得nkiiL2/11，用上述得到的kJJ,1及11,kLL代替nI，显然nkinikiiILJ2111,把改造后的开区间列记为mk，则11mmnnkIBA,66且2)(*2111BAmIknnnnmm.由于mmkdk,中任何mk不可能同时含有BA,中的点，所以把mk分为两类，含有A中点的mk作为一类记为nk，含有B中点的mk作为一类记为nk，则nkA,nkB所以1*'**2)(mmnnBAmkkkBmAm,再让→0得)(***BAmBmAm,证毕.例1设E为[0，1]中的全体有理数，则0*Em.证明因为E为可数集记为,...},...,,{21nrrrE对任意ε0，取,2,1,2,211nrrInnnnn显然,1112*0,nnnnnnIEmIE所以,让ε→0得0*Em，证毕.思考题若E为nR中的可数点集，则0*Em.注外测度为零的集称为零测集，故nR中的可数点集为零测集.例2若0*Am，则对任意nRE，总有EmAEm**)(.证明由外测度的性质（1）、（2）得EmAmEmAEmEm***)(**，所以EmAEm**)(.例3（1）零测集的任意子集仍为零测集.（2）至多可数个零测集的并集仍为零测集.67由零测集的定义及外测度的性质易证，证明留给读者.例4对任何区间nRI，总有IIm*.证明对任意0，存在开区间I*，使*II且|*I||I|+由外测度的定义知IIIm**，再让0，得IIm*.下证IIm*.对任意0，作闭区间0I，使II0且|I||0I|+2.又由外测度的定义知对上述0I及ε，存在开区间列iI使I01iiI,且2*||01ImIii,由Borel有限覆盖定理,在{iI}中存在有限多个区间,不妨设为kII,,1使0IkiiI1，所以kiiII10从而|I||0I|+ImImImIIkiiii**22*2||2||20110,让0，得ImI*，故ImI*，证毕.思考题若I为无穷区间，如何证明?注例4表明外测度是“面积或体积”的一种拓广.§2可测集上节介绍的集合的外测度是区间“体积”的一种拓广，这种拓广是否为通常意义下“体积”的拓广呢?在通常意义下，有体积的集合有这样一个性质:“对两个有体积的不交集合BA,，总有BA的体积=A的体积+B的体积，即体积具有可加性”，对外测度而言，当0),(BA时，BmAmBAm***)(，但仅当BA且0),(BA时有例子可以说明BmAmBAm***)(并不一定成立，这说明对一般集合而言外测度并非通常意义下“体积”的拓广.要想做到这一点，必须对所考虑的集合作一些限制（正如通常意义下并非每个集合都有体积68一样）.本节要介绍的可测集就是这种限制下的集合。可测集的定义方法很多，本节采用一种在理论上运用很广泛的定义方法——德国数学家C·Caratheodory给出的定义.一、可测集的定义及等价条件定义1设nnRTRE如果对任意,总有Tm*=)(*)(*cETmETm,则称E为Lebesgue可测集，或E称是可测的，此时E的外测度Em*称为E的Lebesgue测度，记为mE.注与外测度不同，并非每个集都是可测的即都有测度.下面用一个定理给出可测集的几种等价条件.定理1设,nRE则下列三种说法是等价的（1）E是可测集,（2）cE是可测集,（3）对任意BmAmBAmEBEAc**)(*,,总有,证明先证（1）与（2）的等价性事实上，E可测cnETmETmTmRT(*)(**总有对任意））（总有对任意cccnETmETmTmRT)(*)(**cE可测.再证（1）与（3）的等价性一方面若E可测，则BATEBEAc记对任意,,BmAmEBAmEBAmBAmc**))((**)(*另一方面ccnEETBEETART,,记对任意因为)(*)(***)(**,cETmETmBmAmBAmTmBAT所以,从而E为可测集，证毕.69注由（3）立即可推出若Em*=0(即E为零测集)，则E可测，从而再由（2）可推出nR是可测的.二、可测集的基本性质定理2若21,EE都可测，则2121,EEEE也可测.证明nRT，如图示T=DCBAEETEETEETEET)(\)()\())\((21211221因可测而111,,EEDBECAc,由定理1（3）得)()(***DBCAmDCBAmTm)()(**DBmCAm同理)()(***CAmBmBCAm又因2E可测，所以DmBmDBm***)(,所以DmCBAmDmBmCAmTm******)()())(())(())(\())((21*21*21*21*cEETmEETmEETmEETm,所以21EE可测.又21EE=cccEE21由定理1及上述已证并集的可测性知，21EE也可测.推论1若21,EE可测，则21\EE也可测.证明因cEEEE2121\.推论2若iEi=1,2,…,m,都可测,则mimiiiEE11,都可测,并且当iE两两不交时,70nRT对任意,miimiiETmETm1*1*)()(特别当T=mimiiimiimEEmE111)(,时.证明反复利用定理2即得miimiiEE11与的可测性.下证当iE两两不交时nRT)()(1*1*miimiiETmETm)只证两个集合21,EE的情形，一般情形反复利用两个集合的情形立即可得.因cEEBEABAETETEET1212121,,)()()(其中而1E可测，由定理1得)()()())((2*1****21*ETmETmBmAmBAmEETm.定理3若,2,1,iEi,都是可测的，则1iiE也是可测的，并且当iE两两不交时，总有nRT对任意,11*)(*)(iiiiETmETm.特别取T=1iiE，有11)(iiiimEEm,……（1）证明由于112131211)\()\()\(ijjijjiiEEEEEEEE所以只须证明当iE两两不交时,1iiE可测即可.不妨设iE两两不交，记S=1iiEnRT显然)()(***cSTmSTmTm71且)())(()(*11**nnnnETmETmSTm而由推论2,ijijijjETmETmi11**))(()(,对任意自然数所以ijcjijjETmETmTm1*1**))(())((≥ciicijjijicijEEETmETm1111**(,)(()(因为让i得)()()(()(**11***ciiciiSTmSTmET