数列压轴题(高考)

1高考数列压轴题选讲一、填空题1.已知数列{}na中，2nann，且{}na是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；2.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d）3.函数()fx由下表定义：若11a，25a,*2(),nnafanN则2008a的值__________．12.14.．将正偶数按如图所示的规律排列：2468101214161820……则第n（n≥4）行从左向右的第4个数为．10．28nn5.根据下面一组等式：1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,ssssss…………可得13521nssss4n．12．本题是课本中的习题．考查推理与证明中归纳猜想，数学能力是观察、归纳意识．方法一：1131351,16,81,SSSSSS猜想41321nSSSn．方法二：先求出221(21)(221)nSnnn，然后求和（对文科学生要求较高，不必介绍）6.13．五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为．13．4x12345f(x)3452127.把数列{12n}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2k－1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为(k，s)，则12010可记为．8.（1）正整数按下列方法分组：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,.....记第n组中各数之和为nA；由自然数的立方构成下列数组：333333330,1,1,2,2,3,3,4,....记第n组中后一个数与前一个数的差为,nB则nnAB32n（2）、设112,,(2)(3)23nnnnNxx2012nnaaxaxax，将(0)kakn的最小值记为nT，则2345335511110,,0,,,,2323nTTTTT其中nT=__________________.解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题13．（10，494）（3）13（4）.观察下列等式：222345，222221011121314，12141618110112114116118120122124……（第7题图）3222222221222324252627222222222363738394041424344由此得到第*nnN个等式为.9.数列{}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝_____，n＝_____（答：13a，10n）；10.设等差数列na的首项及公差均是正整数，前n项和为nS，且11a，46a，312S，则2010a=___．12.【4020】11．设等差数列na的前n项和为nS,若1≤5a≤4，2≤6a≤3，则6S的取值范围是；11．12,42【解析】由题知11144,253adad则611161515495Sadadad由不等式性质知612,42S或线性规划知识可得11144253adad，令61615zSad同样得612,42S.12.等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na（答：210n）；13.设数列na中，112,1nnaaan，则通项na___________。112nn14.已知等差数列na的首项1a及公差d都是整数，前n项和为nS（nN）.若1431,3,9aaS，则通项公式____________nan+115.数列na满足：11121(234)nnaana，，，，，若数列na有一个形如sin()naAnB的通项公式，其中AB、、、均为实数，且π002A，，，则na.（只要写出4一个通项公式即可）14．2ππ13sin332n解：12a，212a，31a，512a，61a故周期为314．数列na满足112,2nnnaapan*N,其中p为常数．若存在实数p,使得数列na为等差数列或等比数列,则数列na的通项公式na．14．2n【解析】本题是等差等比数列的综合问题，可采用特殊化的方法来解决。由题意可知:222ap3，a=p(2p+2)+4。若na是等差数列，则2a2=a1+a3,得p2-p+1=0;若na是等比数列，则（2p+2）2=2[p(2p+2)+4],解得p=2.故an=2n.点评：对于客观题可以采用特殊化的方法，避免复杂的计算。求前n项和nS16.设{an}是等比数列，公比2q，Sn为{an}的前n项和。记*2117,.nnnnSSTnNa设0nT为数列{nT}的最大项，则0n=。【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。2112117[1(2)][1(2)]1(2)17(2)161212(2)12(2)nnnnnnnaaTa116[(2)17]12(2)nn因为16(2)(2)nn≧8，当且仅当(2)n=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对(2)n进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.17.设4710310()2222...2nfn()nN，则()fn等于518.在等差数列na中，若1005100610073aaa，则该数列的前2011项的和为201119．在数列na中，若对任意的n均有12nnnaaa为定值（nN），且79982,3,4aaa，则此数列na的前100项的和100S.299解：此数列只有三个数：2；9；3循环20..已知数列{}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.类题：已知{}na是等差数列，设12||||||nnTaaa()nN．某学生设计了一个求nT的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对nT赋值，则空白处理框中应填入：nT←．10．2940nn21.设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21*nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。22.等差数列}{na中，nS是其前n项和，20111a，22010201220102012SS，则2011S的值为_____________13．2011；23．已知)(,,cbacba成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数依次成等比数列，则222bca的值为．14．2024.设等比数列na的前n项和为Sn，若)(312312nnaaaS，8321aaa则na＝_________.（第10题图）结束开始输入nn≤5Tn←－n2＋9n输出TnYN6分析：本题要求等比数列na的通项na，可以先由8321aaa求出2a，再利用)(312312nnaaaS求出公比q..思路正确，问题在怎样求出q？如果将)(312312nnaaaS的两边分别求和，得到q的方程，再解方程求出q，显然计算量大，容易出错.如果仔细观察命题，可以发现nS2是等比数列前2n项的和，)()(24212312nnnaaaaaaS其中1231naaa是前2n项中所有奇数项的和，naaa242是前2n项中所有偶数项的和，从整体考虑，可以发现在等比数列中naaa242＝（1231naaa）q，利用这个关系可使结构简单，便于求解.解：由na是等比数列，得2231aaa，因为8321aaa，所以2a＝2.由)(312312nnaaaS，得naaa242＝2（1231naaa），因为naaa242＝（1231naaa）q，所以q=2.12nna.25．若数列na满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得man＜成立，记这样的m的个数为()na，则得到一个新数列()na．例如，若数列na是1,2,3,n…，…，则数列()na是0,1,2,1,n…，…．已知对任意的Nn，2nan，则5()a，(())na．726．已知数列{}na满足：11a，2ax（xN），21nnnaaa，若前2010项中恰好含有666项为0，则x的值为.14、8或9解:必然存在一个*0nN,当0nn时,数列na为0,1,1,0,1,10,1,1,0,1,1,若2010200920080,1,1aaa，则20106653150aa，29ax;若2010200920081,1,0aaa，21a，不成立;若201020091,0aa，20096653140aa，28ax;27.已知数列na满足1133,2,nnaaan则nan的最小值为__________.【答案】212【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n所以331nannn设()fn331nn，令()fn23310n，则()fn在(33,)上是单调递增，在(0,33)上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时()fn有最小值。8又因为55355a，66321662a，所以，nan的最小值为62162a28.数列{}na满足下列条件：11a，且对于任意的正整数n，恒有2nnaan，则1002a的值为14.4950229..设函数11()21xfxxx,A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为*()nnN的点，向量11nnkkkAAa，向量i=（1，0），设n为向量na与向量i的夹角，则满足15tan3nkk的最大整数n是．13.3解:na1111,21nnkknkAAOAnnn所以tank1121nn,111tan221nnkkn,又1121nn是关于n的单调递减函数,所以11221nn单调递增,当n＝1,2,3时1152213nn,满足题意,当n＝4时,4111152221253nn,从而当4n时1152213nn,所以满足15tan3nkk的最大整数n是3.30.设na是公比为q的等比数列，||1q，令1(1,2,)nnban若数列nb有连续四项在集合53,23,19,37,82中，则6q.【答案】9【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.31．设首项不为零的等差数列{}na前n项之和