第3章 直线的投影【画法几何】.

第三章直线主要内容1、直线的投影2、直线对投影面的相对位置3、直线上的点4、两直线的相对位置§3－1直线的投影一、直线的投影特性EFGHABabghef1、直线的投影，一般情况下仍是直线。2、直线上任一点的投影，必在直线的投影上。Cc二、直线投影的作法bb’Bb”1、作出直线上任意两点的投影2、连接这两个点的同面投影aa”a’OXYWYHZa’abb’b”a”例3-1:已知点A的V、H投影和点B的H投影，B点的Z坐标为0，求线段AB的三面投影。注：直线的投影用粗实线表示§3－2直线对投影面的相对位置一、一般位置直线二、投影面的平行线三、投影面的垂直线一、一般位置直线(一)含义：与各投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。一般位置直线的投影和倾角αβγα为直线AB与投影面H的倾角β为直线AB与投影面V的倾角γ为直线AB与投影面W的倾角(二)一般位置直线的投影特性：1、三个投影都倾斜于投影轴2、三个投影均不反映实长和倾角二、投影面平行线(一)含义：仅平行于某一个投影面的直线，称为投影面平行线。平行于H面的直线称为水平线平行于V面的直线称为正平线平行于W面的直线称为侧平线水平线的投影a´b´//OX轴a˝b˝//OY轴ab反映AB的实长ABaba´b´a˝b˝βγβγ(二)投影面平行线的投影特性：水平线1、水平投影ab反映实长，并反映倾角β、γ2、正面投影a´b´//OX轴，侧面投影a˝b˝//OYw轴aba´b´a˝b˝正平线的投影c´d´反映CD实长CDc′d′cdc˝d˝c˝d˝//OZ轴cd//OX轴正平线的投影特性1、正面投影c´d´反映实长，并反映倾角α,γ2、水平投影cd//OX轴，侧面投影c˝d˝//OZ轴c´d´cdd˝c˝侧平线的投影e˝f˝反映EF实长e´f´//OZ轴ef//OY轴EFefe´f´e˝f˝αββα侧平线的投影特性：1、侧面投影e˝f˝反映实长，并反映倾角α,β2、正面投影e´f´//OZ轴，水平投影ef//OYH轴efe˝f˝e´f´投影面平行线的投影特性1、直线在它所平行的投影面上的投影反映实长（即显实性），并且这个投影与投影轴的夹角等于空间直线对相应投影面的倾角。2、其他两个投影平行于相应的投影轴，并且小于实长。三、投影面垂直线(一)含义：垂直于投影面的直线称为投影面垂直线垂直于H面的直线称为铅垂线垂直于V面的直线称为正垂线垂直于W面的直线称为侧垂线(二)铅垂线的投影特性（1）铅垂线铅垂线的投影特性1、水平投影积聚为一点a(b)2、正面投影a’b’垂直于ox轴，侧面投影a”b”垂直于OYw轴，且都反映实长。（2）正垂线的投影CDc’(d’)cdc”d”)(dcccdd正垂线的投影特性：1、正面投影积聚为一点c’(d’)2、水平投影cd垂直于ox轴，侧面投影c”d”垂直于oz轴，且都反映实长。（3）侧垂线的投影feEFe´f´e˝(f˝)efef)(fe侧垂线的投影特性：1、侧面投影积聚为一点e”(f”)2、正面投影e’f’垂直于OZ轴，水平投影ef垂直于OYH轴，且都反映实长投影面垂直线的投影特性1、直线在所垂直的投影面上积聚为一点（即有积聚性）2、其它两个投影垂直于相应的投影轴，并且反映实长（即有显实性）。铅垂线正垂线正平线d’d”例3－2：判断AB、CD、DE直线的空间位置，并找出其第三投影e”a’c’b’edca(b)e’a”b”c”§3－3一般位置直线的实长和倾角一般位置直线ＡＢ对Ｈ面的倾角ABbaabbaNEWNEWαβγDCE直线的实长与倾角的空间状况直角△ABC中：一直角边AC=ab；另一直角边BC＝Bb－Aa，即A、B两点离开H面的高度差△Z1、过A点作AC//ab2、过b点作bb0⊥ab,且bb0=BC3、连接ab0ABabCαHb0αXOa´b´abmb0根据一般位置直线的投影求其实长和倾角（直角三角形法）αab0=ABα等于AB对投影面H的倾角a´b´V求一般位置直线ＡＢ的实长及其对Ｖ面的倾角βyyXOboa´b´ab求一般位置直线ＡＢ的实长及其对Ｗ面的倾角γxxboa´b´abb″a″在投影图上求直线实长和倾角的方法•以直线在某个投影面上的投影为一直角边，以直线的两端点到这个投影面的距离差为另一直角边，作一直角三角形。•此直角三角形的斜边就是所求的实长，此斜边和投影的夹角，就等于直线对该投影面的倾角。直角三角形法例3－3：已知直线CD对投影面H的倾角α＝30°，试补全c´d´OXdcc´30°△Z△Zd´d´do例3－4：在已知直线上截取AB等于定长LOXa´aLkk´mk0b0b´bα§3－4直线与点的相对位置一、点在直线上二、点不在直线上三、直线的迹点一、点Ｃ在直线ＡＢ上1、C点的投影在直线的同面投影上2、ac:cb=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”=AC:CBabcccabbaC点在直线上，则Ｃ点的投影在直线的同面投影上，并符合点的投影规律。直线上点的投影特性1.直线上一点的投影，必在直线的同面投影上；反之……。（从属性）2.点分线段成某一比例，则该点的各个投影也分该线段的同面投影成相同的比例。（定比性）点在直线上的判定一点的各投影若在直线的同名投影上，且符合点的投影规律，则在空间的该点必在该直线上。•一般情况下，可由它们的任意两个投影来决定。•如直线平行于某投影面时，则还应观察直线所平行的那个投影面上的投影，才能判断该点是否在直线上。ABababba二、Ｄ点不在直线ＡＢ上。dddDNEW例3－5：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上m〞不在c〞d〞上，不符合点在直线上的投影特性（从属性），故Ｍ点不在直线ＣＤ上。（从属性）YWXZYHd0M0解法２例３－６：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ上O点Ｍ的投影不符合直线上点定比性，故Ｍ点不在直线ＣＤ上。（定比性）NEWXO例3－6：已知侧平线CD上一点M的正面投影，要求作出M点的水平投影m解法一：利用直线上点的投影特性之从属性YWXZYHXOnm解法二：利用直线上点的投影特性之定比性三、直线的迹点：直线与投影面的交点XVHOABa´b´baNnn´Mm´mn´m´n求直线的迹点及其投影1、作为投影面上的点，则它在该投影面上的投影与它本身重合，另一个投影落在投影轴上。2、作为直线上的点，则它各个投影必在该直线的同面投影上。mMN迹点投影的特性（两重性）：§3－5两直线的相对位置两直线的相对位置1、两直线平行2、两直线相交3、两直线交错ABCDabcda’b’c'd’VH一、两直线平行2、反之，若两直线各组同名投影相互平行，则两直线在空间也必平行1、两直线相互平行，则它们的同名投影也相互平行（平行性）3、平行两线段之比等于其在三个投影面上的两投影线段之比。反之，则不成立。若两条一般位置直线的任意两组同名投影互相平行，则可判定这两条直线在空间互相平行。a´b´abc´d´cdAB//CDXYwa´b´aba˝b˝c´d´dcc˝d˝OYHZABaba´b´a˝b˝d´c´CDc˝d˝dc若两直线为某一投影面平行线，则需作出该投影面上的同名投影才能判定。ABCDa(b)c(d)ac=AB和CD的距离两条平行的投影面垂直线例3－7：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB和CD的三面投影acbb″da″c″d″d′a′c′b′二、两直线相交ABa’b’baCDKkcdk’c’d’1、两直线相交，则它们的同名投影必相交，并且交点的投影符合点的投影规律2、反之，若两直线的同名投影相交，且投影的交点符合点的投影规律，则两直线在空间必相交。c´abcda´b´d´e´e两条一般位置直线，只要任意两组同名投影相交，且交点符合点的投影规律，即可判定其在空间相交。a´b´c´d´abdcd˝c˝b˝a˝两直线中若有一条为投影面平行线，则需作出在该投影面上的同名投影才能判定。a´b´c´d´abcdd˝c˝b˝a˝AB和CD不相交AB和CD相交例3－8：已知三条直线A、B、C，作直线DE平行直线C，并与直线A、B交于D、E点a´ab´bc´ce´d´edVHІIIIIIIV1(2)3´(4´)ABDCabb´a´cdc´d´三、两直线交叉空间既不平行又不相交的两直线为交叉直线(异面直线)a´b´bad´c´dc1(2)OX3´(4´)3421两交错直线的投影例3－9：判定下列图中两直线的相对位置a´b´c´d´abcda´b´d´c´abc(d)a´b´d´c´cbada´b´c´d´dcab交错相交平行交错§3－6一边平行于投影面的直角投影HABCabcααa´b´c´abcα两相交直线（或两交叉直线）同时平行于某一投影面时，其夹角在投影面上的投影反映夹角的真实大小相交（或交叉）成直角的两直线，只要其中有一条直线平行于某投影面，则它们在该投影面上的投影仍反映直角。ＡＢＣabc水平线反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直a´ab´c´bcm´n´e´f´efnma´b´c´bacff´ee´mnm´n´两条互相垂直的直线，如果其中有一条是水平线，则它们的水平投影互相垂直两条互相垂直的直线，如果其中有一条是正平线，则它们的正面投影互相垂直abb′a′例3－10：过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ为任意长度XOabcb′c′a′XOc′在H面上反映直角有无穷多解例3－11：确定点A到正平线CD的距离c´d´cda´ab´bb0ab0=所求距离例3－12：作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即求两直线的公垂线）a´b´abc´d´c(d)eff´e´