1.1.1变化率问题.1ppt

1.1变化率与导数一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．姚明身高变化曲线图(部分)2.262.12●●●●●●年龄身高47101316●19220.81.61●●●●●●●气球膨胀率问题1,):(:,334rrVdmrLV之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道.,343VVrVr那么的函数表示为体积如果把半径在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?,.,cmrrLV6200110气球半径增加了时增加到从当空气容积./.Ldmrr6200101气球的平均膨胀率为,.,,dmrrLL1601221增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地./.Ldmrr1601212气球的平均膨胀率为.,,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均膨胀率是多少气球的平时增加到当空气的容量从思考21VV2121rVrVrVVV高台跳水问题2...::,,1056942ttthstmh存在函数关系单位与起跳后的时间单位面的高度运动员相对于水在高台跳水运动中人们发现那么述其运动状态描时间内的平均速度如果我们用运动员某段,v;/...,.smhhvt054050050500这段时间里在./.,smhhvt28121221这段时间里在播放暂停停止2121hththvttt65049,:1?2?t探究计算运动员在这段时间里的平均速度并思考下面的问题运动员在这段时间里是静止的吗你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，)0()4965(hh)/(004965)0()4965(mshhv虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．49650t)/(0msthO65496598t思考1：你能给出函数f(x)从x1到x2的平均变化率的定义吗？函数f(x)从x1到x2的平均变化率为121)()fxxx2f(x•习惯上：Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)则平均变化率为1212)()(xxxfxfxy.,相乘与而不是是一个整体符号xxΔx是一个相对于x的变化量,可正可负,但不能为0.不一定,平均变化率可正、可负、可为零.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”；曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.函数的平均变化率就可以表示为函数的改变量与自变量的改变量之比说明：1212)()(xxxfxfxy平均变化率为:思考2：平均变化率有什么几何意义呢？平均变化率的几何意义就是函数f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))所在直线的斜率。?,1.1.11212表示什么变化率平均图的图象观察函数xxxfxfxyxfOxy1xf2xfxfy12xfxf12xx1x2x111.图直线AB的斜率AB典题例证•技法归纳例1题型一求函数的平均变化率求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0,x0＋Δx]上的平均变化率,并求当x0＝1,Δx＝12时平均变化率的值.【解】函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0,x0＋Δx]上的平均变化率为:f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝[2（x0＋Δx）2＋1]－（2x20＋1）Δx＝4x0＋2Δx.当x0＝1,Δx＝12时,平均变化率为4×1＋2×12＝5.【名师点评】求平均变化率的步骤:(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0).(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.(3)求平均变化率ΔyΔx＝f（x1）－f（x0）x1－x0.变式训练1.(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率,其中Δx的值为:①2;②1;③0.1;④0.01;(2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解:(1)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝(Δx)2＋2Δx,∴ΔyΔx＝（Δx）2＋2ΔxΔx＝Δx＋2.①当Δx＝2时,ΔyΔx＝Δx＋2＝4;②当Δx＝1时,ΔyΔx＝Δx＋2＝3;③当Δx＝0.1时,ΔyΔx＝Δx＋2＝2.1;④当Δx＝0.01时,ΔyΔx＝Δx＋2＝2.01.(2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小,并接近于2.题型二：求物体的平均速度(本题满分6分)已知物体自由落体的运动方程为s＝12gt2,求:(1)物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度v;例2【思路点拨】物体在(t0,t0＋Δt)内的平均速度为v＝ΔsΔt＝s（t0＋Δt）－s（t0）Δt;【解】(1)当t由t0取得一个改变量Δt时,s取得的相应改变量为Δs＝12g(t0＋Δt)2－12gt20＝gt0Δt＋12g(Δt)2.因此,在t0到t0＋Δt这段时间内,物体的平均速度为:v＝ΔsΔt＝gt0Δt＋12g（Δt）2Δt＝g·t0＋12Δt变式训练本例条件不变,求:(1)物体在t＝10s到t＝10.1s,这段时间内的平均速度;练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-ΔxD3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.2.t2质点运动规律s=t+3,则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为()9A.6+tB.6+t+C.3+tD.9+tA作业：(1)计算函数f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)=x2+1的平均变化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2422yx(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)222()2yxxxxxxx2.我想进一步探究的问题是——1.这节课我的收获是——小结：3.这节课我最感兴趣的地方是——小结：•1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：1212)()(yxxxfxfx1212)()(yxxxfxfx3.物体在(t0,t0＋Δt)内的平均速度为v＝ΔsΔt＝s（t0＋Δt）－s（t0）Δt;在匀速直线运动中，比值ts是恒定的。在非匀速直线运动中，比值ts不是恒定的。我们用一段时间内物体的平均速度刻画了物体运动的快慢（1）[1,3];（2）[1,2];（3）[1,1.1];（4）[1,1.001];（5）[1,1.0001];一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s)432.12.0011.9991.991.92（6）[0.999,1];（7）[0.99,1];（8）[0.9,1].2.0001练一练如何刻画t=1这一时刻质点运动的快慢程度呢？思考：