同济大学高等数学第六版第七章微分方程

暨南大学珠海学院第七章微分方程yxfy求已知,)(—积分问题yy求及其若干阶导数的方程已知含,—微分方程问题推广第七章暨南大学珠海学院第一节微分方程的基本概念与一阶微分方程解法一阶微分方程的基本概念与解法引例几何问题物理问题第七章暨南大学珠海学院引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:xxy2dd①xxyd2Cx2(C为任意常数)由②得C=1,.12xy因此所求曲线方程为21xy②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.暨南大学珠海学院引例2.列车在平直路上以sm20的速度行驶,制动时获得加速度,sm4.02a求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知4.0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202.02说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).暨南大学珠海学院常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),,,,()(nyyyxF),,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)一、微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或暨南大学珠海学院,00ts200ddtts引例24.022ddxy—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解xxy2dd21xy引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.其图形称为积分曲线族.暨南大学珠海学院例1.验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解,,0Axt00ddttx的特解.解:22ddtxtkkCsin22)cossin(212tkCtkCkxk2这说明tkCtkCxsincos21是方程的解.是两个独立的任意常数,21,CC),(21为常数CCtkkCcos2102xk利用初始条件易得:,1AC故所求特解为tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求满足初始条件暨南大学珠海学院求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为QPQxyox解:如图所示,yYy1)(xX令Y=0,得Q点的横坐标yyxX,xyyx即02xyy点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,暨南大学珠海学院1、可分离变量微分方程或xxfyygd)(d)(可分离变量方程。)()(dd21yfxfxy形如的微分方程称为解法：可分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(两边积分,得yygd)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF则有称为方程的隐式通解.二、一阶微分方程的解法暨南大学珠海学院例1.求微分方程yxxy23dd的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy1CeC令(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)暨南大学珠海学院例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y暨南大学珠海学院例3.求下述微分方程的通解:)1(sin2yxy解:令,1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx)1tan((C为任意常数)所求通解:暨南大学珠海学院练习:.dd的通解求方程yxexy解法1分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe(C0)解法2,yxu令yu1则故有ueu1积分Cxeuu1dCxeuu)1(ln(C为任意常数)所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1(暨南大学珠海学院例4.子的含量M成正比,,0M求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件,得0MC故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原暨南大学珠海学院例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分:得Cmtvkgmk)(ln1)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)1(tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgvt足够大时暨南大学珠海学院2、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程.令,xyu,xuy则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用xy代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:暨南大学珠海学院例1.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)暨南大学珠海学院例2.解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.暨南大学珠海学院3、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程;暨南大学珠海学院对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得暨南大学珠海学院例1.解方程.)1(12dd25xxyxy解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2)1(xCy用常数变易法求特解.令,)1()(2xxuy则)1(2)1(2xuxuy代入非齐次方程得21)1(xu解得Cxu23)1(32故原方程通解为Cxxy232)1(32)1(暨南大学珠海学院4、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)暨南大学珠海学院例4.求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解:令,1yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:暨南大学珠海学院一、可降阶高阶微分方程第七章二、线性微分方程解的结构第二节暨南大学珠海学院一、可降阶的高阶微分方程1、型的微分方程2、型的微分方程3、型的微分方程)()(xfyn),('''yxfy),('''yyfy暨南大学珠海学院1、)()(xfyn令,)1(nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1)1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(dCxyn1d)(Cxxfxdxxfd)(依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,)(xf21CxC型的微分方程一、可降阶高阶微分方程暨南大学珠海学院例1..cos2xeyx求解解:12cosCxdxeyx12sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC暨南大学珠海学院),(yxfy型的微分方程设,)(xpy,py则原方程化为一阶方程),(pxfp设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy2、暨南大学珠海学院例2.求解yxyx2)1(2,10xy30xy解:),(xpy设,py则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10xy,12C得133xxy因此所求特解为暨南大学珠海学院3、),(yyfy型的微分方程令),(ypyxpydd则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),,(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分,得原方程的通解21),(dCxCyy暨南大学珠海学院例3.求解.02yyy代入方程得,0dd2pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy12解:),(ypy设xpydd则xyypddddyppdd暨南大学珠海学院例4.解初值问题解:令02yey,00xy10xy),(ypy,ddyppy则代入方程得yeppydd2积分得1221221Cepy利用初始条件,,0100xyyp,01C得根据yepxydd积分得,2Cxey,00xy再由12C得故所求特解为xey1得暨南大学珠海学院为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x轴围成的三角形面例4.