数列的递推公式练习

课时作业5数列的递推公式(选学)时间：45分钟满分：100分课堂训练1．在数列{an}中，a1＝13，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5＝()A．－163B.163C．－83D.83【答案】B【解析】由an＝(－1)n·2an－1知a2＝23，a3＝－2a2＝－43，a4＝2a3＝－83，a5＝－2a4＝163.2．某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈N，数列的前n项之积为n2，则这个数列的通项公式是()A．an＝2n－1B．an＝n2C．an＝n2n－12D．an＝n＋12n2【答案】C【解析】∵a1·a2·a3·…·an＝n2，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，∴两式相除，得an＝n2n－12.3．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，则a2009＝________，a2014＝________.【答案】10【解析】考查数列的通项公式．∵2009＝4×503－3，∴a2009＝1，∵2014＝2×1007，∴a2014＝a1007，又1007＝4×252－1，∴a1007＝a4×252－1＝0.4．已知数列{an}，a1＝0，an＋1＝1＋an3－an，写出数列的前4项，并归纳出该数列的通项公式．【解析】a1＝0，a2＝1＋a13－a1＝13，a3＝1＋a23－a2＝1＋133－13＝12，a4＝1＋a33－a3＝1＋123－12＝35.直接观察可以发现，把a3＝12写成a3＝24，这样可知an＝n－1n＋1(n≥2，n∈N＋)．当n＝1时，1－11＋1＝0＝a1，所以an＝n－1n＋1(n∈N＋)．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知数列{an}满足：a1＝－14，an＝1－1an－1(n≥2)，则a4＝()A.45B.14C．－14D.15【答案】C【解析】∵a1＝－14，an＝1－1an－1(n≥2)，∴a2＝1－1a1＝1－1－14＝5，a3＝1－1a2＝1－15＝45，a4＝1－1a3＝1－145＝1－54＝－14.2．数列{an}满足a1＝13，an＝－1an－1(n≥2，n∈N＋)，则a2013＝()A.13B．－13C．3D．－3【答案】A【解析】由已知得，a2＝－3，a3＝13，a4＝－3，所以an＝13，n为奇数，－3，n为偶数，故a2013＝13，选A.3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()A.a1＝1an＋1＝an＋nn∈N＋B.a1＝1an＝an－1＋nn∈N＋，n≥2C.a1＝1an＋1＝an＋n＋1n∈N＋，n≥2D.a1＝1an＝an－1＋n－1n∈N＋【答案】B【解析】代入验证得B.4．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是()A．6B．－3C．－12D．－6【答案】D【解析】an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1＝an＋1－an－an＋1＝－an，故a5＝a2＋3＝－a2＝－6.5．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多是()A．40个B．45个C．50个D．55个【答案】B【解析】交点个数依次组成数列为1,3,6，即2×12，2×32，3×42，由此猜想an＝nn－12(n≥2，n∈N＋)，∴a10＝10×92＝45.6．在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝an＋4n－1(n∈N＋)，则通项an等于()A．2n2－3nB．2n2－3n＋6C．n2－3n＋6D．2n2－3n＋9【答案】B【解析】∵an＋1－an＝4n－1，∴a2－a1＝4×1－1，a3－a2＝4×2－1，a4－a3＝4×3－1，…，an－an－1＝4(n－1)－1，累加上述各式，得an－a1＝4(1＋2＋…＋n－1)－(n－1)，∴an＝2n2－3n＋6.7．已知{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2)，则a3a5的值为()A．－3B．－4C.34D.43【答案】C【解析】由递推公式逐个求解．8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N＋)，则a2013等于()A．0B．－3C.3D.32【答案】C【解析】a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，…，T＝3，∴a2013＝a3＝3.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设数列{an}满足a1＝1，an＝2＋1an－1(n1)，则a4＝________.【答案】177【解析】由递推公式a2＝2＋1a1＝3，a3＝2＋1a2＝73，a4＝2＋1a3＝177.10．已知数列{an}对任意p，q∈N＋，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝19，则a36＝________.【答案】4【解析】由已知得，a2＝a1＋1＝2a1＝29；a4＝a2＋2＝2a2＝49；a8＝a4＋4＝2a4＝89；a9＝a1＋8＝a1＋a8＝19＋89＝1，a36＝4a9＝4.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．已知数列{an}的前n项和Sn分别是：(1)Sn＝n2＋n＋1；(2)Sn＝2n－1，求通项an.【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.∵a1不适合an，∴an＝3，n＝12n，n≥2.(2)当n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.∵a1适合an，∴an＝2n－1(n≥1)．12．求满足下列条件的数列{an}的通项公式．(1)已知{an}满足an＋1＝an＋14n2－1，且a1＝12，求an；(2)已知{an}满足an＋1＝3nan，且a1＝3，求an.【解析】(1)由已知条件有an＋1－an＝14n2－1＝12(12n－1－12n＋1)，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝12＋12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－3－12n－1)]＝12＋12·(1－12n－1)＝4n－34n－2.(2)由an＋1＝3nan，得an＋1an＝3n，∴an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝3·3·32·…·3n－1＝31＋1＋2＋…＋n－1＝3n2－n＋22.