复数的基本概念与基本运算

1复数的基本概念与基本运算（2课时）一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z=r(cosθ+isinθ)OZ→(Z(a,b))z=a+bi(3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解复数集纯虚数集虚数集实数集22．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定21i，形如a+bi的数称为复数，其中a，b∈R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数1112221122,(,,,)zabizabiababR，那么12zz的充要条件是：1122abab且．(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．3复数z=a+bi,abR．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：⑴ni*nN怎样计算？（先求n被4除所得的余数，rrkii4*,kNrN）⑵ii2321232121、是1的两个虚立方根，并且：132312211222111212112121⑶复数集内的三角形不等式是：212121zzzzzz，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。⑷棣莫佛定理是：))(sin(cos)sin(cosZnninrirnn⑸若非零复数)sin(cosirz，则z的n次方根有n个，即：)1210)(2sin2(cosnknkinkrznk，，，，它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为nr的圆上，并且把这个圆n等分。4⑹若121)3sin3(cos32zizz，，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则△AOB（O为坐标原点）的面积是333sin6221。⑺zz=2z。⑻复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：①)(arg为实常数z轨迹为一条射线。②是实常数）是复常数，00()arg(zzz轨迹为一条射线。③是正的常数）rrzz(0轨迹是一个圆。④)(2121是复常数、zzzzzz轨迹是一条直线。⑤是正的常数）是复常数，、azzazzzz2121(2轨迹有三种可能情形：a)当212zza时，轨迹为椭圆；b)当212zza时，轨迹为一条线段；c)当212zza时，轨迹不存在。⑥)(221是正的常数aazzzz轨迹有三种可能情形：a)当212zza时，轨迹为双曲线；b)当212zza时，轨迹为两条射线；c)当212zza时，轨迹不存在。五、高考命题规律分析复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求5辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。复数的几何意义也是解题的一个重要手段。（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点；(3)重视以下知识盲点：①不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；②忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；③盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来；④容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。六、典型例题分析①实数？②虚数？③纯虚数？①复数z是实数的充要条件是：∴当m＝2时复数z为实数．②复数z是虚数的充要条件：6∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数③复数z是纯虚数的充要条件是：∴当m＝1时复数z为纯虚数．【说明】要注意复数z实部的定义域是m≠3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．[]22221441zzzz，所以54z，代入①得34zi，故选B．解法3：选择支中的复数的模均为2314，又0z，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B．【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点．求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z．运算简化．7解：设z=x+yi(x，y∈R)将z=x+yi代入|z4|＝|z4i|可得x＝y，∴z=x+xi(2)当|z1|2＝13时，即有x2x6=0则有x=3或x=2综上所述故z＝0或z=3+3i或z=-22i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质．其性质有：(3)1+2i+32i+…+1000999i【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，8(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：设S＝1+2i+32i+…+1000999i，则iS＝i+22i+33i+…+999999i+10001000i，∴(1i)S＝1+i+2i+…+999i10001000i【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．9【例6】已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A、B、C满足)20(sincos,sincossinsincossin1且设复数izCCABBA、)arg(),sin(cos2212zzAiAz求的值.【解】BCCBACCABBAsinsin)cos(cossinsincossinsincossin得2cos2sin2)2sin2sin(2cos2sin4CBCBCBCBAA……3分,02,2cos2sin,2sin2cos222CBACBACBACB又.02sin,02sinCBA上式化简为2212cos2AA……6分)]2sin()2[cos(221izz……9分23)arg(,2021zz时当当2)arg(,221zz时……12分【例7】设z1=1-cosθ+isinθ，z2=a2+ai(a∈R)，若z1z2≠0，z1z2+z1z2=0，问在（0，2π）内是否存在θ使(z1-z2)2为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．【分析】这是一道探索性问题．可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答．【解】假设满足条件的θ存在．因z1z2≠0，z1z2+z1z2=0，故z1z2为纯虚数．10又z1z2=(1-cosθ+isinθ)(a2+ai)=[a2(1-cosθ)-asinθ]+[a(1-cosθ)+a2sinθ]i，于是，a2(1-cosθ)-asinθ=0，①a(1-cosθ)+a2sinθ≠0．②由②知a≠0．因θ∈(0，2π)，故cosθ≠1．于是，由①得a=sinθ1-cosθ．另一方面，因(z1-z2)2∈R，故z1-z2为实数或为纯虚数．又z1-z2=1-cosθ-a2+(sinθ-a)i，于是sinθ-a=0，或1-cosθ-a2=0．若sinθ-a=0，则由方程组sinθ-a=0，a=sinθ1-cosθ，得sinθ1-cosθ=sinθ，故cosθ=0，于是θ=π2或θ=3π2．若1-cosθ-a2=0，则由方程组1-cosθ-a2=0，a=sinθ1-cosθ，得(sinθ1-cosθ)2=1-cosθ．由于sin2θ=1-cos2θ=(1+cosθ)(1-cosθ)，故1+cosθ=(1-cosθ)2．解得cosθ=0，从而θ=π2或θ=3π2．综上所知，在(0，2π)内，存在θ=π2或θ=3π2，使(z1-z2)2为实数．【说明】①解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z≠0，z+z=0z∈{纯虚数}Re(z)=0，Im(z)≠0．以及z2∈Rz∈R或z∈{纯虚数}．（注：Re(z)，Im(z)分别表示复数z的实部与虚部）②解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立．【例8】设a为实数，在复数集C中解方程：z2+2|z|=a．【分析】由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．【解】设|z|=r．若a＜0，则z2=a-2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r–a．解得r=1+1-a(r=1-1-a＜0，不合，舍去)．故z=±(1+1-a)i．若a≥0，对r作如下讨论：（1）若r≤