人大微积分课件8-2偏导数

第二节偏导数一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法偏增量：设函数在点的某邻域),(yxfz),(yxP内有定义．为该邻域内的点．),(yxxP称函数的增量为关于),(),(yxfyxxf的偏增量，x称函数的增量),(),(yxfyxxf为关于的偏增量．y定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有偏增量),(),(0000yxfyxxf如果存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为xyxfyxxfx),(),(lim00000同理函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数，可定义为，，或.00yyxxxz00yyxxxf00yyxxxZ),(00yxfx00yyxxyz00yyxxyf00yyxxyZ),(00yxfy或yyxfyyxfy),(),(lim00000记作，，或.xzxfxZ),(yxfx如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，),(yxfzD),(yxxyx,),(yxfzx类似可定义函数对自变量的偏导),(yxfzy数，记作，，或.yzyZ),(yxfyyf偏导数的概念可以推广到二元以上函数如三元函数在处),,(zyxfu),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz例1求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213例2设)1,0(xxyzx求证：zyzxxzyx2ln1xxxyxyxyzxxzyxyxlnln1ln11证1yyxxzxxyzylnzxxyy2解xzxyxxyxx2222211322222)(||yxyyyx.||22yxy|)|(2yy例3设22arcsinyxxz，求，.xzyzyzyyxxyxx222221132222)()(||yxxyyyxyyxx1sgn22)0(y00yxyz不存在．例4已知理想气体的状态方程RTpV（R为常数），求证：.证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT1pTTVVp).0,0(),0,0(,),(5yxffxyyxfz求设例注意：1）求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解xxfxx0|0|lim)0,0(0000|0|lim)0,0(0yyfyy偏导数是一个整体记号，不能拆分．2）xz但函数在该点处并不连续.偏导数存在与连续的关系一元函数在某点可导连续多元函数在某点偏导数存在，函数是否连续？例如,函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf依定义知在处，0)0,0()0,0(yxff.)0,0(偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设yxfzyxfyxM如图偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.),(00yxfy0xx偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.几何意义:),,(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),,(2yxfyxzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx函数),(yxfz的二阶偏导数为混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.纯偏导二、高阶偏导数例5　设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx例6设byeuaxcos，求二阶偏导数.解,cosbyaexuax;sinbybeyuax,cos222byeaxuax,cos222byebyuax,sin2byabeyxuax.sin2byabexyuax问题：例7验证函数22ln),(yxyxu满足拉普拉斯方程.02222yuxu定理如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？解),ln(21ln2222yxyx,22yxxxu,22yxyyu,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu.0例8证明2221zyxu满足方程．0222222zuyuxu证明：252222222223222)(2)(zyxzyxxuzyxxxu由的对称性，得zyx,,2522222222)(2zyxxzyyu2522222222)(2zyxyxzzu0223222zuyuxu例9设函数0,00,),(2222223yxyxyxyxyxf).0,0()0,0(yxxyff和求2223222)(2)(3),(yxxyxyxyxyxfx2224222)(23yxyxyxyx时，有当解(0,0)(x,y)),(yxfy22223223)(2yxyxyxx时，按定义有当(0,0)(x,y)0)0,0()0,(lim)0,0(0xfxffxx0)0,0(),0(lim)0,0(0yfyffyy0)0,0(),0(lim)0,0(0yfyffxxyxy1)0,0()0,(lim)0,0(0xfxffyyxyx