矢量场旋度

§0-3矢量场的旋度斯托克斯定理RotationofVectorField,Stoke’sTheorem1、矢量场的环流(TheCircumfluenceofVector’sField)在数学上，将矢量场沿一条有向闭合曲线L（即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分称为沿该曲线L的循环量或流量。2、旋度(Rotation)设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么)(xALldAcA以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小，也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向，且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则，为此定义nˆSLldAsldALs0limnˆnsldAAALsˆlimrot0称为矢量场的旋度（rot是rotation缩写）。旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处rot称为无旋场。3、斯托克斯定理（Stoke’sTheorem）它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。)(xA0AsLsdAsdA)(§0-4正交曲线坐标系中运算的表达式ExpressionofOperationonOrthogonalCurvilinearCoordinatesFrame1、度量系数(MeasurementCoefficents)设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1,x2,x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为其中2323222221212222dxhdxhdxhdzdydxdl)3,2,1()()()(222ixzxyxxhiiii称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1,h2,h3来描述。2、哈密顿算符、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符在正交曲线坐标系下的一般表达式(TheGeneralExpressionofHamiltonOperator,Gradient,Divergence,RotationandLaplaceOperatorinOrthogonalCurvilinearCoordinates)2)()()(1111111312321321321321333222111333222111AhhxAhhxAhhxhhhAxhexhexhexhexhexhe12113233222121121313311212213133212211qHHeqHHeqeqHHeqeqHHeqeqHHeqeqHHeqHHeqe2322131133323223313113232332qHHeqHHeqeqHHeqeqHHeqeqHHeqe)()()()()()(1112221213331113312223332321332211221332211321AhxAhxhheAhxAhxhheAhxAhxhheAhAhAhxxxehehehhhhA其中为正交曲线坐标系的基矢；是一个标量函数；是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中，，在其它正交坐标系中)()()(13321322132113213212xhhhxxhhhxxhhhxhhh321,,eee),,(321xxx332211321),,(eAeAeAxxxAA1122)(eAAiiAA22)(332222)()(eAeA3、不同坐标系中的微分表达式(DifferenceExpressioninDifferentCoordinates)a)笛卡儿坐标x1=x，x2=y，x3=zh1=1，h2=1，h3=1xyzy为常数平面x为常数平面(x,y,z)pyezexezeyexezyxzzyyxxzyxzyxzyxzyxeAeAeAAzyxAAAzyxeeeAzAyAxAAzeyexe)()()(22222222222b)圆柱坐标系坐标变量:x1=rx2=φx3=z与笛卡儿坐标的关系：x=rcosφy=rsinφz=z拉梅系数:h1=1h2=rh3=1φzxyz为常数平面r为常数平面φ为常数平面ezererzererezrerAzAezAArArAAzrereerAzAArrArrAzueurerueuzrrzzrzrzrzr)()1(111)(11将应用于圆柱坐标可得：zzrrzreAeAeAAzuurrurrrueArrArr)()()(1)(11)(12222222222)()(2AAArrrrArrAAAArrAAA222222222)(2)(c)球坐标系zzAA22)(zθrφy(r,θ,φ)ereexθ为常数平面r为常数平面φ为常数平面坐标变量：与笛卡儿坐标的关系：拉梅系数：321,,xxrxcos,sinsin,cossinrzryrxsin,,1321rhrhhArArArrrAureurerueurerererrrsin1)(sinsin1)(1sin11sin1122eArArrerArAreAArArrAArrerereArrrrr)(1)(sin11)(sinsin1sin1sin1sin12其中eAeAeAAururrurrrurr)()()(sin1)(sinsin1)(1222222222222AAArAArrrsin1)(sinsin12)(222)sin2ctg(sin2)()sincossin2(2)(22222222AAArAAAAArAArr§0-5二阶微分算符格林定理Second-orderDifferenceOperator,Green’sTheorem1、一阶微分运算(First-orderDifferenceCalculation)将算符直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即这些都叫一阶微分运算。举例：a)设为源点与场之间的距离，r的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r的梯度。AA,,222)()()(zzyyxxrxx第一步：源点固定，r是场点的函数，对场点求梯度用r表示，则有而场点（观察点）场源点坐标原点oxxrzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)()(2)()()(2121222同理可得：故得到：)(,)(rzzzrryyyrrrrzzeyyexxerrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyxzyxˆ)()()(1)()()(第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用表示。而同理可得：rzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)()1()(2)()()(2121222rzzzrryyyr)(,)(所以得到：作业:b)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明rrrrrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyxˆ)()()(ududfuf)(?13rrr和求证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有证毕)()()()()()()()()()(uduudfzueyuexueduudfzuduudfeyuduudfexuduudfezufeyufexufeufzyxzyxzyxc)设求解：而同理可得xxzzeyyexxerzyx)()()(rr和zryrxrrererezeyexerzyxzzyyxxzyx)()(1)(xxxxrx故有.1zryrzy那么这里同理可得故有.3111zryrxrrzyxzryrxrrzyx1)(xxxxrx.1zryrzy.3111zryrxrrzyx由此可见：d)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：rrduAduuA)(.)()()()()()()()()(证毕duuAduuduuAdzuduudAyuduudAxuduudAzuAyuAxuAuAzyxzyxe)设u是空间坐标x,y,z的函数，证明证：duuAduuA)()(xuduudAzuduudAezuduudAyuduudAeyuAxuAexuAzuAezuAyuAeuAzxyyzxxyzzxyyzx)()()()()()()()()()()(2、二阶微分运算(CalculationofTwo-orderDifference)将算符作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设为标量场，为矢量场。.)()()()()()(证毕duuAduduudAduudAduudAzuyuxueeeyuduudAxuduudAezyxzyxxyz)(x,)(xg)(xf并假设的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到：（1）标量场的梯度必为无旋场（2）矢量场的旋度必为无散场（3）无旋场可表示一个标量场的梯度（4）无散场可表示一个矢量场的旋度fg,和0)(0)(ggg则若,0fgg则若,0（