一级注册结构工程师――基础资料总结(原创)

注册结构工程师复习资料总结-1-常微分方程一、可分离变量方程一阶可分离变量方程：()()dyfxdxgy，可分离变量，方程通解为：()()GyfxC二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程：()()ypxyQx，通解如下：当()0Qx时，上式称为线性齐次方程，通解为InyC或()pxdxyCe当()0Qx时，上式称为线性非齐次方程，通解为()()[()]pxdxpxdxyeQxedxC三、可降阶微分方程1、()()nyfx对此类微分方程，多次直接积分即可求得通解。2、(,)yfxy——不显含y的二阶微分方程，令yp，则yp，代入得(,)pfxp，该一阶微分方程可求解，从而求得()yfx。3、(,)yfyy——不显含x的二阶微分方程，令yp，则dpypdy，代入得(,)dppfypdy，该一阶微分方程可求解，再经分离变量可求得()yfx。四、二阶常系数线性微分方程1、二阶常系数齐次线性微分方程0ypyqy，其中p、q为常数它的特征方程为20rprq，其中r为特征根。根据r的情况，二阶常系数齐次注册结构工程师复习资料总结-2-微分方程的通解如下：(1)1r、2r为两个不等实根时，方程的通解为1212rxrxyCeCe；(2)1r、2r为两个相等实根时(12rrr)，方程的通解为12()rxyCCxe；(3)1r、2r为一对共轭复根i时，方程的通解为12(cossin)xyeCxCx；2、二阶常系数齐次线性微分方程设*()yyx是非齐次线方程()ypyqyfx，其中p、q为常数的一个特解，()yyx是对应的齐次方程0ypyqy的通解，则该二阶线性非齐次微分方程的通解为*()()yyxyx。(1)当()()xmfxPxe时，可设特解形式为*()()kxmyxxQxe其中k为作为特征根的重数(当不是特征根时，k取0；当是特征单根时，k取1；当是特征重根时，k取2)；当k、确定后，将特解*()()kxmyxxQxe代入原二阶线性非齐次微分方程即可求得()mQx。(2)当()()cos()sinlnfxpxxpxx时，可设特解形式为*()[()cos()sin]kmmyxxQxxRxx其中()lpx、()npx为别为l、n次多项式；k为复数i作为特征根的重数(当不是特征根时，k取0；当是特征单根时，k取1；当是特征重根时，k取2)；max{,}mln当k、确定后，将特解*()[()cos()sin]kmmyxxQxxRxx代入原二阶线性非齐次微分方程即可求得()mQx和()mQx。注册结构工程师复习资料总结-1-概率论与数理统计复习资料一、随机事件概率的计算公式1、求逆公式：1PAPA2、加法公式：PABPAPBPAB当A与B不相容时，0PAB，PABPAPB3、减法公式：PBAPBPAB；当AB时，PAPB，PBAPBPA当B时，1PB，1PAPA4、条件概率：设A、B是两个事件，且0PA，则称PABPA为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为/PABPBAPA。5、乘法公式：/PABPAPBA。更一般地，对事件A1，A2，…An，若121......0nPAAA，则有121121121....../....../......nnnPAAAPAPAAPAAAA6、事件的独立性：事件A、B满足PABPAPB，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0PA，则有/PABPAPBPBAPBPAPA7、全概率事件：设A、B、C是三个事件，如果满足两两独立的条件，PABPAPB、PBCPBPC、PACPAPC并且同时满足PABCPAPBPC那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。8、贝叶斯公式：设事件1B、2B…、nB及A满足(1)1B、2B…、nB两两互不相容，且0iPB，i=1，2，…，n;(2)1niiAB，0PA则注册结构工程师复习资料总结-2-njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。iPB(i=1，2，…n)，通常叫先验概率。)/(ABPi，(i=1，2，…n)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。9、伯努利概型：我们作了n次试验：每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1pq，用npk表示n重伯努利试验中A出现(0)kkn次的概率，即()kknknnpkCpq123......kn、、10、排列组合公式：从n个人中挑选出m个人进行排列：!()!mnnAnm从n个人中挑选出m个人进行组合：!!()!mnnCmnm二、随机变量及其分布1、离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,…)，X取各个值时事件(X=Xk)的概率为P(X=Xk)=pk，k=1,2,…则称上式为离散型随机变量X的分布律。分布律应满足如下条件：(1)0kP，k=1，2，…(2)11kkp2、连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有()()xFxfxdx，则称X为连续型随机变量。f(x)称为随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。概率密度函数应满足如下条件：注册结构工程师复习资料总结-3-(1)()0fx，(2)()1fxdx3、离散与连续型随机变量的关系()()()PXxPxXxdxfxdx积分元()fxdx在连续型随机变量理论中所起的作用与()kkPXxp在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。4、分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP可以得到X落入区间],(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间(,]x内的概率。分布函数具有如下性质：(1)0()1Fx，x；(2))(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；(3)0)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；(4))()0(xFxF，即)(xF是右连续的；(5))0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，()()xFxfxdx。5、随机变量的数字特征(1)期望设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=Xk)=pk，k=1,2,…，则X的期望E为nkkkpxXE1)((要求绝对收敛)。函数Y=g(x)的期望1()()nkkkEYgxp。设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则X的期望E为()()EXxfxdx(要注册结构工程师复习资料总结-4-求绝对收敛)。函数Y=g(x)的期望()()()EYgxfxdx。期望的性质：1)()ECC2)()()EaXaEX3)()()()EXYEXEY，11()()nniiiiiiEaXaEX4)()()()EXYEXEY,充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。(2)方差方差的计算公式，2()[()]DXEXEX对于离散型随机变量X，方差2()[()]kkkDXxEXp；对于连续型随机变量X，方差2()[()]()DXxEXfxdx；方差的性质：1)()0Da2)2()()DaXaDX3)2()()DaXbaDX4)22()()()DXEXEX5)()()()2[(())(())]DXYDXDYEXEXYEY6)()()()DXYDXDY,充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。(3)原点矩与中心矩1)对离散型随机变量，称随机变量X的k(k为正整数)次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为k,即()kkkikiEXxp，k=1,2,…称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为k，即[()][()]kkkiiEXEXXEXp，k=1,2,…注册结构工程师复习资料总结-5-2)对连续型随机变量，称随机变量X的k(k为正整数)次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为k,即()()kkkEXxfxdx，k=1,2,…称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为k，即[()][()]()kkkEXEXxEXfxdx，k=1,2,…(4)随机变量的分布分布一维随机变量的分布期望方差0～1分布P(X=1)=p,P(X=0)=qpp(1-p)二项分布在n重贝努里试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为随机变量X，则X可能取值为0,1,2……。若X=k发生的概率为()()kknknnPXkPkCpq其中q=1-p，0p1,k=0、1、2……、n则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布,记为X～B(n,p)。当1n时，kkqpkXP1)(，k=0或1，这就是(0～1)分布，所以(0～1)分布是二项分布的特例。npnp(1-p)泊松分布若随机变量X的分布律为ekkXPk!)(，0，k=0、1、2……则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X～π(λ)或者P(λ)。泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ，n→∞)。λλ注册结构工程师复习资料总结-6-超几何分布若随机变量X的分布律为0,1,2,(),min(,)knkMNMnNklCCPXklMnC则称随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。均匀分布的方差为11NnNNMNnM。NnM左表几何分布若随机变量X的分布律为1()kPXkqp，k=1、2、3…，其中0p，1qp。则称随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。p121pp均匀分布若随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数()fx在[a，b]上为常数ab1，即1()0fxba则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X～U(a，b)。随机变量X分布函数为0()()1xxaFxfxdxba当a≤x1≤x2≤b时，X落在区间(x1，x2)内的概率为abxxxXxP1221)(2ba12)(2ab指数分布若随机变量X的概率密度为()0xefx其中λ0，则称随机变量X服从参数为λ的指数分布。随机变量X的分布函数为1()0xefx记住积分公式：0!nxxedxn121，aXb，其他，Xb，a≤X≤b，Xa，X0，X≥0，X0，X≥0注册结构工程师复习资料总结-7-正态分布若随机变量X的概率密度函数为22()21(),2xfxex其中μ，σ0为常数，则称随机变量X服从参数为μ、σ的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X～N(μ、σ)。正态分布的概率密度函数f(x)具有如下性质：