第三章-结构可靠性分析方法

3.1一次可靠度分析法一次可靠度分析法(FirstOrderReliabilityMethod,FORM)计算结构构件可靠度的基本思路是：首先将结构构件功能函数Z=g(Xl，X2，…，Xn)展开成Taylor级数，忽略高阶项，仅保留线性项，再利用基本随机变量X=(Xl,X2,…,Xn)的一阶矩、二阶矩求取Z的均值μz与标准差σz，从而确定结构构件可靠指标。根据功能函数线性化点的取法不同以及是否考虑基本随机变量的分布类型，一次可靠度分析法分为：均值一次二阶矩法(中心点法)，改进的一次二阶矩法(验算点法)和JC法。3.1一次可靠度分析法泰勒(Taylor)中值定理(一元):如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶导数，则当x在(a，b)时，f(x)可表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和：'''200000()00(1)100()()()()()()2!()()()!()()()(1)!nnnnnnfxfxfxfxxxxxfxxxRxnfRxxxnxx是与之间某个值一元函数3.1一次可靠度分析法泰勒公式(二元):设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到(n+1)阶导数，有：00000000(,)(,)[()(,)()(,)]fxyfxyxxfxyyyfxyxy一次可靠度分析常取前面两项。即线性项。可以推广至有n元情况2.2.1均值一次二阶矩法2.2一次可靠度分析法1、均值一次二阶矩法(中心点法)当功能函数包含有多个相互独立的正态随机变量X=(Xl,X2,…,Xn)，状态函数为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)。随机变量标准差与其函数标准差的近似表达。3.1.1均值一次二阶矩法3.1一次可靠度分析法1、均值一次二阶矩法(中心点法)计算步骤：当功能函数包含有多个相互独立的正态随机变量X=(Xl,X2,…,Xn)，状态函数为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)。(1)用各随机变量的均值代入功能函数，得出功能函数的均值μZ；(2)求功能函数的标准差σZ；(3)求β和Pf。将随机变量的均值代入例题：可靠度分析解：结构基本变量为fy和d，荷载极限状态方程：右图所示圆截面直杆，承受拉力P=100KN，已知材料的强度设计值fy的均值μfy=290MPa，标准差σfy=25MPa，杆直径d的均值μd=30mm，标准差σd=3mm，求此杆的可靠指标。例题：可靠度分析解：结构基本变量为fy和d，应力极限状态方程：右图所示圆截面直杆，承受拉力P=100KN，已知材料的强度设计值fy的均值μfy=290MPa，标准差σfy=25MPa，杆直径d的均值μd=30mm，标准差σd=3mm，求此杆的可靠指标。均值一次二阶矩法简单，使用方便。但存在缺陷：其一是对同样条件下的同一结构，若采用不同的功能函数来描述结构的同一功能要求，将得出不同的β值；其二是选取基本随机变量均值点作为功能函数的线性化点来求取β将产生较大误差。3.1.1均值一次二阶矩法3.1一次可靠度分析法2、可靠指标β的几何意义设Z=g(Xl，X2，…，Xn)是线性函数，极限状态方程为：21/221/211[(|)][()]XiiinnzXiXiiigaXD(AX+BY)=A2D(X)+B2D(Y)3.1.1均值一次二阶矩法3.1一次可靠度分析法2、可靠指标β的几何意义将Xl，X2，…，Xn作标准化变换：iiiXiXXUUi在Ω空间的均值为零，标准差为1。有：iiiXiXXU原结构极限状态方程：在Ω空间极限状态方程：3.1.1均值一次二阶矩法3.1一次可靠度分析法2、可靠指标β的几何意义该方程表示U空间中的一个超平面。由解析几何知识可知，在U空间中坐标原点(即中心点M)到此极限状态超平面的距离为：在Ω空间极限状态方程：两维情况：Z=R-S3.1.1均值一次二阶矩法3.1一次可靠度分析法2、可靠指标β的几何意义上式说明了可靠指标β的几何意义：指在经过标准化变换得到的U空间中，从坐标原点(即中心点O)到相应的极限状态超平面的距离。当结构的功能函数为非线性函数时，可以得出相同的结论。中心点在可靠区内，它离开极限状态超平面越远，表明结果越可靠。3.2.1改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法-(改进一次二阶矩法)针对均值一次二阶矩法将功能函数线性化点取作基本随机变量均值点带来的问题，改进的一次二阶矩法将功能函数线性化点取在设计验算点，从而提高了计算β的精度，并保证了对同一结构问题β的唯一性。改进的一次二阶矩法也称为验算点法。当极限状态方程中包含有多个相互独立的正态随机变量X=(Xl,X2,…,Xn)，假设方程为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)=0，则此超曲面Z=0上距离中心点M=(μX1，μX2，…，μXn)最近的点P＊=(x1＊，x2＊，…，xn＊)为设计验算点，简称验算点。显然，xi＊(I=1，2，…，n)满足极限状态方程：***12(,,,)0nZgxxx3.2.1改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法***12(,,,)0nZgxxx***'**11(,,)()()inniXiZigxxgxx偏导数在验算点的值3.2.1改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法结构可靠指标为：引入灵敏系数αi灵敏系数αi实际上是各基本变量的不定性对可靠度影响的“权”，有：于是有：**'**11'*1(,,)()()()iinniXiiniXiigxxgxxgx上式展开：***12(,,,)0nZgxxx3.2.1改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法**'**11'*1(,,)()()()iinniXiiniXiigxxgxxgx上式展开：g’(xi*)≠0，必有：有x1＊，x2＊，…，xn＊和β的方程组(n+1)：解方程组可得验算点P*=(x1＊，x2＊，…，xn＊)和β值。但这仅是理论上的结论，实际上求解此方程组是相当困难的。通常在给定Xi的统计参数μXi，σXi后，进行迭代运算，求出xi*和β的近似值。3.2.1改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法改进的一次二阶矩法迭代步骤：(第1步：假定β=2.0)；第2步：设验算点为xi*，i=1,2,…,n，第一步取基本变量平均值xi*=μXi；第3步：计算非正态随机变量的当量正态分布均值和标准差；第4步：计算偏导数在验算点xi*的值；第5步：计算灵敏系数αi在验算点xi*的值；第6步：计算验算点xi*新值重复步骤3~6，直到灵敏系数αi收敛(前后两次的之差的绝对值小于0.005)。一旦αi收敛，就把β作为未知参数。如果不检验β的收敛性，则删除第1步。第7步：将β视为未知数，把xi*值代入极限状态方程，解方程得出β值，并计算设计验算点xi*的新值。第8步：重复步骤2~7，直至前后两次算出的β值之差小于允许误差(一般±0.01)．*|ixigX代入当量标准差。代入当量均值。3.2.2JC法3.2一次可靠度分析法-JC法1、当量正态化一次二阶矩法适用于结构功能函数所含随机变量为独立、正态变量情况。但在可靠性分析中，极限状态方程常常包含非正态分布的随机变量。JC法的基本思路是：对非正态变量当量正态化，将其转换为等效正态随机变量，即可利用一次二阶矩法求结构可靠指标。“当量正态化”的条件是：(1)在设计验算点xi＊处，非正态变量Xi(其均值为μXi，标准差为σXi)的分布函数值FXi(xi＊)与当量正态变量X’i(其均值为μXi’，标准差为σXi’)的分布函数值Fxi’(xi＊)相等；(2)在设计验算点xi＊处，非正态变量Xi的概率密度函数值fXi(xi＊)与当量正态变量X’i的概率密度函数值fXi’(xi＊)相等。根据以上两个条件可以计算出当量正态分布的均值和标准差。3.3.1JC法3.3一次可靠度分析法1、当量正态化非正态分布函数当量正态分布函数第一个条件：分布函数相等。3.3.1JC法3.3一次可靠度分析法1、当量正态化非正态分布密度函数当量正态分布密度函数第二个条件：分布密度函数相等。''''2*'2'**/2()/2()()121()2iiiiiXiXiiXXiXXxxxfxxefxe标准正态分布:()正态分布密度函数:3.3.1JC法3.3一次可靠度分析法1、当量正态化非正态分布密度函数当量正态分布密度函数第二个条件：分布密度函数相等。3.3.1JC法3.3一次可靠度分析法1、当量正态化当量正态化分析步骤：(1)根据分布密度函数相等得出当量正态分布的标准差。(2)根据分布函数相等得出当量正态分布的均值。将验算点xi＊代入非正态分布函数，得一计算值，反查正态分布表，将该值代入标准正态分布密度函数得分子值。将验算点xi＊代入非正态分布密度函数，得分母值。(2)在极限状态方程中，非正态随机变量的当量正态的均值和标准差求得后，即将问题化为正态变量的情形。前提条件是必须得出非正态分布的分布函数和分布密度函数。3.3.1JC法3.3一次可靠度分析法1、当量正态化对于对数正态分布变量Xi，其分布函数和分布密度函数为：分布密度函数：在正态分布公式中令z=(t-μ)/σ，可将随机变量X标准化，标准化后的随机变量z服从标准正态分布。()()tz分布函数：对数正态分布的密度函数为：正态分布的密度函数为：3.3.1JC法3.3一次可靠度分析法1、当量正态化对于对数正态分布的分布函数和分布密度函数：由公式，当量标准差为：'*ln1*ln**2ln**ln(){[()]}ln(1)()()iiiiiiiiiXXiXiXiXXXiXixFxxxfxfx由公式，当量均值为：''*ln*1*****lnlnlnln[()]()(1ln)iiiiiiiiXiXiiiXiiXXXXxxFxxxxx正态与对数正态分布转换P29页。'1**{[()]}()iiiXiXXiFxfx''*1*[()]iiiiXiXXxFx关键的两个公式：例题：当量正态化解：从前面的分析中得到如下公式：设某随机变量服从对数正态分布，其样本均值和方差分别为：试求其当量正态分布的均值μXi’和标准差σXi’。2226.75360.0XXXS'*lniiiXXx'**ln(1ln)iiiiXXxx验算点xi＊即为均值点。题目已知的是样本的均值和方差，但公式中为样本取对数后的均值λX和方差ξX。由P29页：22222()exp(/2)()[exp()1]exp(2)XXXXEXXDXS解方程组，可得均值λX和标准差ξX。2222ln/2ln(1)XXXX2222360ln(1)ln(1)0.64ln/23.0826.75XXXX'*ln26.750.64iiiXXx'**ln(1ln)26.75(1ln26.753.08iiiiXXxx）对数当量正态化公式'*2ln(1)XiiXx'**2[1lnln0.5ln(1)]iiiXXXxxμXi为样本的均值，δX为样本的变异系数xi＊为验算点，μXi’为当量正态分布的均值，σXi’为当量正态分布的标准差。例题：改进一次二阶矩法解：1第一次迭代已知极限状态方程Z=g(B,W)=BW-1140=0，随机变量B服从对数正态分布，平均值μB=38，标准差σB=3.8；随机变量W服从正态分布，平均值μW=54，标准差σW=2.7。求可靠指标β值。(2)取验算点x1＊=b＊=38，x2＊=W＊=54(为均值点)。(3)对于B随机变量当量正态化，δB=3.8/38=0.1。'*2ln(1)XiiXx'**2[1lnln0.5ln(1)]iiiXXXxx对