高等代数第三章

3.1线性方程组和行列式一、内容分布二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)行列式在线性方程组中的应用二、教学目的：1.了解二阶、三阶行列式的定义。2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。三、重点难点：利用对角线法则计算二阶、三阶行列式一、二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)我们用记号22211211aaaa表示代数和21122211aaaa称为二阶行列式,即2112221122211211aaaaaaaa我们用记号333231232221131211aaaaaaaaa表示代数和312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为三阶行列式,即312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD主对角线法‘—’三元素乘积取“+”号；‘—’三元素乘积取“-”号.二、行列式在线性方程组中的应用(1)如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)22221211212111bxaxabxaxa它的系数作成的二阶行列式022211211aaaaD,那么方程组(1)有解2211112222121122221121122111121222112112221211,,,babaDababDDDaaaababaxDDaaaaababx其中(2)如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa它的系数作成的三阶行列式0333231232221131211aaaaaaaaaD,那么方程组(2)有解,,,332211DDxDDxDDx这里332312222111211333331232211311123332323222131211,,baabaabaaDabaabaabaDaabaabaabD我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.3.2排列一、内容分布排列、反序与对换奇、偶排列的定义及性质二、教学目的了解排列、反序、对换的定义三、重点难点求反序数一、排列及其相关概念定义1n个数码n,2,1的一个排列指的是由这n个数码组成的一个有序组.n个数码的不同排列共有n！个例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！=6个，它们是：123，132，231，213，312，321。定义2在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为1m个，那么就有1m个数码与1构成反序；然后把1划去，再看有多少个数码排在2的前面，设为2m个，那么就有2m个数码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面，设为3m个，……，如此继续下去，最后设在n前面有nm个数码（显然0nm），那么这个排列的反序数等于nmmm21。例求排列451362的反序数.0,2,4,2654321mmmmmm所以这个排列有8个反序。一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列。解例1计算排列32514的反序数.例2计算排列217986354的反序数,并讨论其奇偶性.二、对换及其性质njjjn1221得出定义3看n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j）来表示。定理3.2.1nnjjjiii2121和设是n个数码的任意两个排列，那么总可以通过一系列对换由nnjjjiii2121得出证明:我们已经知道，通过一系列对换可以由1212.niiin得出我们只需证明，通过一系列对换可由njjjn2112得出,而通过一系列对换可由按照相反的次序施行这些对换，就可由njjjn2112得出定理3.2.2任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变.其中A与B都代表若干个数码.施行对换,,ji得证明:（1）我们首先看一个特殊的情形，就是被对换的两个数码是相邻的。设给定的排列为AB,,,,ijAB,,,,ij比较这两个排列的反序数.经过这个对换后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排列中,ji那么经过对换后,i与j就构成ji,一个反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数增多一个。,ji那么经过对换后，排列的反序数减少一个。若在给定的排列中不论是哪一种情形，排列的奇偶性都有改变。（2）现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我们用skkk,,,21来代表。这时给定的排列为.,,,,,,,21jkkkis（1）先让i向右移动，依次与skkk,,,21交换。这样，经过s次相邻的两个数码的对换后（1）变为.,,,,,,,21jikkks再让j向左移动，依次与12,,,,,kkkis交换。经过s+1次相邻的两个数码的对换后，排列变为.,,,,,,21ikkkjs（2）ji,但（2）正是对（1）施行对换而得到的排列。因此，对（1）施行对换相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由（1），每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性相反。ji,ji,ji,定理3.2.3在n个数码(n1)的所有n！个排列，其中奇偶排列各占一半.即各为2!n个。证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换,,ji那么由定理3.2.2,我们得到p个偶排列.由于对这p个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列,所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶排列,所以.qp同样可得.pq因此.qp作业：P1071，2，3.3.3n阶行列式一、内容分布n阶行列式的定义行列式的性质二、教学目的：1.掌握和理解n阶行列式的定义。2.会利用定义计算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性质。4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。三、重点难点：利用定义计算行列式利用性质熟练计算及证明行列式一、n阶行列式的定义定义1用符号nnnnnnaaaaaaaaa212222111211表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积1212n.njjjaaa项1212nnjjjaaa的符号为12()(1),njjj也就是说,当njjj,,21是偶排列时,这一项的符号为正,当njjj,,21是奇排列时,这一项的符号为负.例1计算.00000000hgfedcbaD解：根据定义,D是一个4!=24项的代数和。然而在这个行列式里，除了acfh，adeh，bdeg，bcfg这四项外，其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上面四项对应的排列依次是蜗牛们是1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排列.因此.degbcfgbadehacfhD转置一个n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111D叫D的转置行列式。引理3.3.1从n阶行列式的列行和第第nnjjjiii,,,,,,2121取出元素作乘积（3）,2211nnjijijiaaa这里nnjjjiii,,,,,,2121和都是1,2,…,n这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是1212(1),(),()stnnsiiitjjj证:如果交换乘积(3)中某两个因子的位置,那么(3)的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换,假定经过这样一次对换后所得的两个排列的反序数分别为ts和,那么由定理3.2.2，ttss和都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以是一个偶数。因此tsts与同时是偶数或同时是奇数，从而tsts)1()1()()()()(ttsststs另一方面，由定理3.2.1，排列niii21总可以经过若干次对换变为，因此，经过若干次交换因子的次序，乘积（3）可以变为nnkkkaaa2211（4）这里nkkk21是n个数码的一个排列。根据行列式的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符号是)(21)1(nkkk。然而0)12(n。由上面的讨论可知)()()12(2121)1()1()1(nnkkkkkknts引理被证明。n12二、行列式的性质命题3.3.1行列式与它的转置行列式相等，即DD命题3.3.2交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。证设给定行列式nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211交换D的第i行与第j行得)()(.212121112111jiaaaaaaaaaaaaDnnnniniijnjjn（旁边的i和j表示行的序数）D的每一项可以写成njinkjkikkaaaa11（5）因为这一项的元素位于的不同的行与不同的列，所以它也是的一项，反过来，的每一项也是D的一项，并且D的不同项对应着的不同项，因此D与含有相同的项。1D1D1D1D1D交换行列式两列的情形，可以利用命题3.3.1归结到交换两行的情形。式的第i行变成第j行，第j行变成第i行，而列的次序并没有改变。所以由引理3.3.1，并注意到是一奇数，因此（5）在D的在中的符号相反，所以D与的符号相反。，然而在中，原行列（5）在D中的符号是)(1)1(njikkkk)1(nij（5）在中的符号是1)()()1(211)1()1(nnjikkkkkkknij1D1D1D由命题3.3.1推知，凡是行列式的对于行成立的性质对于列也成立，反过来也是如此。1D推论3.3.1如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。证设行列式D的第i行与第j行(i≠j)相同，由命题3.3.3，交换这两行后，行列式改变符号，所以新的行列式等于－D，但另一方面，交换相同的两行，行列式并没有改变由此得D=－D或2D=0，所以D=0。命题3.3.3用数k乘行列式D的某一行（列），等于以数k乘此行列式。kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin2121112112121112111证设把行列式D的第i行的元素iniiaaa,,,21乘以k而得到的行列式，那么的第i行的元素是1D1Diniikakaka,,,21D的每一项可以写作ninjijjaaa11（6）中对应的项可以写作1D（7）nininjijjnjijjaakaakaa1111（6）在D中的符号与（7）在中的符号都是1D)(21)1(njjj1DkD因此，推论3.3.2行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。推论3.3.3如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。推论3.3.4如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，那么这两行的对应元素只差一个因子k，即jnijijikaakaaka