2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-2课件：2-2-1 综合法与分析法

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修1-2第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订第二章推理与证明第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订2.2直接证明与间接证明第二章第二章推理与证明成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订第二章第1课时综合法与分析法第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订学习要点点拨课前自主预习课堂典例讲练课后强化作业课堂巩固练习第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订课程目标解读第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法．分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订重点难点展示第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订本节重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点．本节难点：综合法和分析法的应用．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订学习要点点拨第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订一、综合法1．综合法的特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，是由因导果，实际上是寻找“已知”的必要条件．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明数学问题的关键．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订2．综合法的基本思路用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的推理形式为P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q其逻辑依据是三段论式演绎推理．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订二、分析法1．分析法的特点分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订2．分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”，从待征结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件．若用P表示要证明的结论，则分析法的推理形式为P⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订三、分析法与综合法的区别与联系(1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，结合起来运用效果会更好．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订(2)联系：在分析法中，从结论出发的每一步所得到的判断都是使结论成立的充分条件，最后的一步归结为已被证明了的事实．因此从分析法的最后一步又可以倒推回去，直到结论，这个倒推的证明过程就是综合法．分析法便于思考，叙述较繁；综合法叙述条理清楚，不便于思考，综合法是分析法的逆向思维过程，表述简单，条理清楚．所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：分析找思路，综合写过程．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订用分析法证题时，要注意表述的规范严谨，正确使用“要证”、“只须证”这样的连接词．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订课前自主预习第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订1．根据分析法与综合法的基本概念与推理方式填表综合法分析法定义利用和某些数学、、等，经过一系列的最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、、、等)，这种证明方法叫做分析法已知条件定义定理公理推理论证结论充分条件定理定义公理第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订综合法分析法框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示、已有的、、等，Q表示)Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件已知条件定义定理公理所要证明的结论第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订综合法分析法特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订2.当待解决问题，一时打不开思路，不知从何入手时，有时可以运用去探求解题思路，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更是行之有效的方法，另外，对于恒等式的证明，也同样可以运用分析法证明．又如在立体几何证明题中，将待证结论作为条件和其他已知条件结合起来分析，看能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方法．分析法第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订课堂典例讲练第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订思路方法技巧[例1]已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.命题方向综合法的应用第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[分析]注意到条件a＋b＝1，可在待证式中进行1的代换(或利用字母之间的倒数关系，将待证式左边乘以1，即乘以(a＋b)变形后用基本不等式证明．也可以先将a＋b＝1利用基本不等式转化为ab的不等式，再看待证式能否向ab(或ab)转化．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[证明]解法一：∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴ab≤14，1ab≥4.∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订解法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab＞0，1a＋1b≥21ab＞0，∴(a＋b)(1a＋1b)≥4.又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.解法三：1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[点评]1.综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订2．综合法证明不等式依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a、b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，(a＋b2)2≥ab，a2＋b2≥a＋b22.③若a、b∈(0，＋∞)，则a＋b2≥ab，ba＋ab≥2.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订已知a0，b0，a＋b＝1，求证：(a＋1a)(b＋1b)≥254.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴a＋b≥2ab，∴ab≤14.∴(a＋1a)(b＋1b)－254＝a2＋1a·b2＋1b－254＝4a2b2－33ab＋84ab＝1－4ab8－ab4ab≥0.∴(a＋1a)(b＋1b)≥254.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订命题方向分析法的应用[例2]设a、b为实数，求证a2＋b2≥22(a＋b)．建模应用引路第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．当a＋b＞0时，用分析法证明如下：要证a2＋b2≥22(a＋b)，只需证(a2＋b2)2≥[22(a＋b)]2.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[点评](1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订当a≥2时，求证a＋1－a＜a－1－a－2.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]要证a＋1－a＜a－1－a－2，只需证a＋1＋a－2＜a＋a－1，只需证(a＋1＋a－2)2＜(a＋a－1)2，只需证a＋1＋a－2＋2a＋1a－2＜a＋a－1＋2aa－1，只需证a＋1a－2＜aa－1，只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)，即证－2＜0，而－2＜0显然成立，所以a＋1－a＜a－1－a－2成立.第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订命题方向综合法和分析法的综合应用[例3]求证：当x≥0时，sinx≤x.[分析]不等式恒成立问题，可以转化为函数的最值问题来解决．探索延拓创新第二章2.2第1课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·选修1-1、1-2合订[解析]要证x≥0时，sinx≤x，只需证x≥0时，sinx－x≤0即可．设f(x)＝sinx－x，则即证x≥0时，f(x)≤f(0)．即证x≥0时，f(x)的最大值小于或等于0.(*