高三一轮总复习理科数学新课标第8章-第5节

菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）第五节椭圆考纲传真1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻划现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合的思想.4.了解椭圆的简单应用．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．两定点F1，F2叫椭圆的．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)当时，P点的轨迹是椭圆；(2)当时，P点的轨迹是线段；(3)当时，P点不存在．等于常数焦点2a＞|F1F2|2a＝|F1F2|2a＜|F1F2|菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)范围≤x≤≤x≤b≤y≤≤y≤a对称性对称轴：；对称中心：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)性质离心率e＝ca，且e∈a，b，c的关系c2＝a2－b2坐标轴原点(0,1)－aa－b－bb－a菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】根据椭圆的定义、性质知(1)错，(2)(4)正确，当椭圆离心率e越大，椭圆越扁，(3)错误．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）2．(人教A版教材习题改编)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10【解析】依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）3．(2013·广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1B.x24＋y23＝1C.x24＋y22＝1D.x24＋y23＝1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c＝1.又离心率为ca＝12，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x24＋y23＝1，故选D.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）4．(2013·课标全国卷Ⅱ)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.36B.13C.12D.33菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】如图，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|，且|PF2|＝33|F1F2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝23a，于是|F1F2|＝233a，因此离心率e＝ca＝3a3a＝33.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】如图，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|，且|PF2|＝33|F1F2|，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝23a，于是|F1F2|＝233a，因此离心率e＝ca＝3a3a＝33.【答案】D菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）5．椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是．【解析】直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2×b2a＝2×32＝3，∴S△FAB＝12×2×3＝3.【答案】3菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向1椭圆的定义与标准方程【例1】(1)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝.(2)(2013·大纲全国卷改编)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1→⊥PF2→，进而得解．(2)设出椭圆方程，依据题目条件用待定系数法求参数．【尝试解答】(1)由定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，且PF1→⊥PF2→，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2.∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝9，因此b＝3.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）(2)依题意，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)．过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，∴点A1，32必在椭圆上，∴1a2＋94b2＝1.①又由c＝1，得1＋b2＝a2.②由①②联立，得b2＝3，a2＝4.故所求椭圆C的方程为x24＋y23＝1.【答案】(1)3(2)x24＋y23＝1菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法11.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)的形式．2．与椭圆焦点三角形有关的计算或证明，常利用正(余)弦定理、椭圆定义、向量运算，并注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|整体代换．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练1(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为．【解析】∵a＞5，∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F1F2|＝8，∴c＝4，∴a2＝25＋c2＝41，则a＝41.由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，∴△ABF2的周长为4a＝441.【答案】441菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）图8－5－1【例2】如图8－5－1所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF2→＝2F2B→，求椭圆的方程．【思路点拨】由△AF1F2为等腰直角三角形找a，c的等量关系→计算e＝ca；利用AF2→＝2F2B→把点B的坐标用点A(0，b)表示→代入椭圆求a，b的值→写出椭圆方程．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【尝试解答】(1)∵|AF1|＝|AF2|＝a，且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，∴2a2＝4c2，∴a＝2c，∴e＝ca＝22.(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由AF2→＝2F2B→，解得x＝32，y＝－b2，代入x2a2＋y2b2＝1，得94a2＋b24b2＝1，即94a2＋14＝1，解得a2＝3，∴b2＝a2－c2＝2.所以椭圆方程为x23＋y22＝1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）规律方法21.求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．2．e与a，b间的关系e2＝c2a2＝1－ba2.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）变式训练2(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【解析】在△ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.∴c＝|OF|＝12|AB|＝5，利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|＝|AF|＝6，∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.因此椭圆的离心率e＝ca＝57.【答案】57菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）考向3直线与椭圆的位置关系【例3】(2013·天津高考)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，离心率为33，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若AC→·DB→＋AD→·CB→＝8，求k的值．菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探究·提知能高三一轮总复习数学·新课标（理科）【思路点拨】(1)由离心率和椭圆基本量之间的关系建立方程，求得椭圆方程；(2)联立直线与椭圆方程，由韦达定理，结合向量的坐标运算求解．【尝试解答】(1)设F(－c,0)，由ca＝33，知a＝3c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有－c2a2＋y2b2＝1，解得y＝±6b3，于是26b3＝433，解得b＝2.又a2－c2＝b2，从而a＝3，c＝1，∴椭圆的方程为x23＋y22＝1.菜单高考体验·明考情课时作业自主落实·固基础典例探