2013年高考理科数学重庆卷word解析版

12013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．特别提醒：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013重庆，理1)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则U(A∪B)＝()．A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3}D．{4}答案：D解析：∵A∪B＝{1,2,3}，而U＝{1,2,3,4}，故U(A∪B)＝{4}，故选D．2．(2013重庆，理2)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()．A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0答案：D解析：全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D．3．(2013重庆，理3)36aa(－6≤a≤3)的最大值为()．A．9B．92C．3D．322答案：B解析：方法一：236318aaaa＝238124a，因为－6≤a≤3，所以当32a时取得最大值81942.方法二：∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0.而(3－a)＋(a＋6)＝9，由基本不等式得：(3－a)＋(a－6)≥236aa，即9236aa，∴9362aa，当且仅当3－a＝a＋6，即32a时取等号．4．(2013重庆，理4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．2已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()．A．2,5B．5,5C．5,8D．8,8答案：C解析：由甲组数据中位数为15，可得x＝5；而乙组数据的平均数91510182416.85y，可解得y＝8.故选C．5．(2013重庆，理5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．5603B．5803C．200D．240答案：C解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V＝12×(2＋8)×4×10＝200，故选C．6．(2013重庆，理6)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()．A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案：A解析：由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A．7．(2013重庆，理7)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()．A．524B．171C．622D．17答案：A解析：圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝2223344524，故选A．8．(2013重庆，理8)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()．3A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9答案：B解析：由程序框图可知，输出的结果为s＝log23×log34×…×logk(k＋1)＝log2(k＋1)．由s＝3，即log2(k＋1)＝3，解得k＝7.又∵不满足判断框内的条件时才能输出s，∴条件应为k≤7.9．(2013重庆，理9)4cos50°－tan40°＝()．A．2B．232C．3D．221答案：C解析：4cos50°－tan40°＝4sin40cos40sin40cos40＝2sin80sin402sin100sin40cos40cos40＝2sin(6040)sin40cos40＝312cos402sin40sin40223cos40.10．(2013重庆，理10)在平面上，1AB⊥2AB，|1OB|＝|2OB|＝1，AP＝1AB＋2AB.若|OP|＜12，则|OA|的取值范围是()．A．50,2B．57,22C．5,22D．7,22答案：D解析：因为1AB⊥2AB，所以可以A为原点，分别以1AB，2AB所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，4则AP＝1AB＋2AB＝(a，b)，即P(a，b)．由|1OB|＝|2OB|＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.由|OP|＜12，得(x－a)2＋(y－b)2＜14，即0≤1－x2＋1－y2＜14.所以74＜x2＋y2≤2，即22722xy.所以|OA|的取值范围是7,22，故选D．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．(2013重庆，理11)已知复数5i12iz(i是虚数单位)，则|z|＝__________.答案：5解析：5i5i(12i)2i12i(12i)(12i)z，∴22||125z.12．(2013重庆，理12)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝__________.答案：64解析：由a1＝1且a1，a2，a5成等比数列，得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2，故S8＝8a1＋872d＝64.13．(2013重庆，理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．答案：590解析：方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有512C792种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有57C21种，只去骨科和内科两科医生的选法有5585CC55种，只去脑外科和内科两科医生的选法有5595CC125种，只去内科一科医生的选法有55C1种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．方法二：设选骨科医生x名，脑外科医生y名，则需选内科医生(5－x－y)人．(1)当x＝y＝1时，有113345CCC120种不同选法；(2)当x＝1，y＝2时，有122345CCC180种不同选法；(3)当x＝1，y＝3时，有131345CCC60种不同选法；(4)当x＝2，y＝1时，有212345CCC120种不同选法；(5)当x＝2，y＝2时，有221345CCC90种不同选法；(6)当x＝3，y＝1时，有311345CCC20种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．(2013重庆，理14)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为__________．5答案：5解析：在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝20，可得BC＝103.由弦切角定理，可得∠BCD＝∠A＝60°.在Rt△BCD中，可求得CD＝53，BD＝15.又由切割线定理，可得CD2＝DE·DB，可求得DE＝5.15．(2013重庆，理15)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线23,xtyt(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝__________.答案：16解析：由极坐标方程ρcosθ＝4，化为直角坐标方程可得x＝4，而由曲线参数方程消参得x3＝y2，∴y2＝43＝64，即y＝±8，∴|AB|＝|8－(－8)|＝16.16．(2013重庆，理16)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．答案：(－∞，8]解析：方法一：设f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＝22,5,8,35,22,3,xxxxx可求得f(x)的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a≤8，故a的取值范围是(－∞，8]．方法二：由绝对值不等式，得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解时，a的取值范围为(－∞，8]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013重庆，理17)(本小题满分13分，(1)小问6分，(2)小问7分．)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋6x.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故12a.(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6lnx(x＞0)，f′(x)＝x－5＋6x＝23xxx.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.18．(2013重庆，理18)(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个6蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．解：设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝123437CC18C35.(2)X的所有可能