复变函数――第二讲(1)

1第二讲复变函数第四节区域一、区域的概念二、单连通域与多连通域3一、区域的概念1.邻域:.:)(,000的邻域内部的点的集合称为的圆为半径任意的正数为中心平面上以zzzz说明.,0,点的邻域称为无穷远其中实数所有点的集合的且满足包括无穷远点自身在内MMz42.去心邻域:.000的去心邻域集合为所确定的点的称由不等式zzz说明..,,zMMz可以表示为域称为无穷远点的去心邻的所有点的集合仅满足内不包括无穷远点自身在53.内点:.,,.,000的内点称为那末于该邻域内的所有点都属的一个邻域存在如果中任意一点为为一平面点集设GzGzGzG4.开集:如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.65.区域:如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.6.边界点、边界:设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.7D的所有边界点组成D的边界.说明(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(2)区域D与它的边界一起构成闭区域.Dz1C2C3Cz1C2C3C8以上基本概念的图示1z2z区域0z邻域P边界点边界7.有界区域和无界区域:.,,0,,界的否则称为无称为有界的那末点都满足使区域的每一个即存在为中心的圆里面点可以被包含在一个以原如果一个区域DMzMD9(1)圆环域:;201rzzr0z2r1r课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:;0Imz(3)角形域:;arg0z(4)带形域:.Imbza答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.xyo10二、单连通域与多连通域1.连续曲线:.,)(),(,)(,)()(称为连续曲线表一条平面曲线代那末方程组是两个连续的实变函数和如果btatyytxxtytx平面曲线的复数表示:)().()()(btatiytxtzz112.光滑曲线:.0,])([])([,,)()(,22称这曲线为光滑的那末有的每一个值且对于都是连续的和上如果在tytxttytxbta由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.xyoxyo123.简单曲线:.)()(,)()(:的起点和终点分别称为与为一条连续曲线设CbzazbtatzzC.)(,)()(,,121212121的重点称为曲线点时而有当与的对于满足Ctztztzttttbtabta没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).13.,)()(,为简单闭曲线那末称即的起点和终点重合如果简单曲线CbzazC换句话说,简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质:任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.xyo内部外部边界14课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭)(az)(bz)(az)(bz)(az)(bz)(az)(bz154.单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域161.复变函数的定义2.映射的概念§5复变函数17一、复变函数的定义).(),(,,,,.zfwzwivuwzGiyxzG记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设1.复变函数的定义:182.单(多)值函数的定义:.)(,是单值的我们称函数那末的值的一个值对应着一个如果zfwz.)(,是多值的那末我们称函数的值两个以上的一个值对应着两个或如果zfwz3.定义集合和函数值集合:;)()(定义域的定义集合称为集合zfG.,*称为函数值集合值所成的集合的一切中所有对应于GwzG194.复变函数与自变量之间的关系::)(相当于两个关系式之间的关系自变量与复变函数zfwzw),,(),,(yxvvyxuu.的两个二元实变函数和它们确定了自变量为yx例如,,2zw函数,,ivuwiyxz令2)(iyxivu则,222xyiyx:2数对应于两个二元实变函于是函数zw,22yxu.2xyv20二、映射的概念1.引入:.,,,,,的点集之间的对应关系上必须看成是两个复平面的几何图形表示出来因而无法用同一平面内之间的对应关系和由于它反映了两对变量对于复变函数yxvu212.映射的定义:).()(*)()(,,或变换的映射函数值集合平面上的一个点集变到定义集合平面上的一个点集是把在几何上就可以看作那末函数值的平面上的点表示函数而用另一个平面的值平面上的点表示自变量如果用GwGzzf22.),(,*)(的原象称为而映象的象称为那末中的点映射成被映射中的点如果wzzwwGzfwzG.)(所构成的映射函数这个映射通常简称为由zfw23.)1(构成的映射函数zwxyouvoiz321iw321iz212iw212ABCABC,11wz,22wz.CBAABC3.两个特殊的映射:.ibawwibazz的点平面上映射成平面上的点将24xyouvoiz321iw321iz212iw212ABCABC,11wz,22wz.CBAABC.,映射是关于实轴的一个对称不难看出重叠在一起平面平面和如果把zwwzo1w2w1z2z且是全同图形.25.)2(2构成的映射函数zw.1,43,11,21,321321wi1z2z2w3w1w3z26.)2(2构成的映射函数zw根据复数的乘法公式可知,.2的辐角增大一倍将映射zzwxyouvo2.2的角形域平面上与实轴交角为的角形域映射成平面上与实轴交角为将wz27.)2(2构成的映射函数zw:2数对应于两个二元实变函函数zw.2,22xyvyxu,2,2122cxycyxxyz曲线标轴为渐近线的等轴双和坐线平面上的两族分别以直它把(如下页图).,21cvcuw平面上的两族平行直线分别映射成28.)2(2构成的映射函数zw将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.xyoxyo29.)2(2构成的映射函数zw:的象的参数方程为直线x)(.2,22为参数yyvyu:得消去参数y),(4222uv以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线):的象为同理直线y),(4222uv以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)304.反函数的定义:.)(*,*,)(点或几个中的一个必将对应着每一个点中的那末平面上的集合函数值集合为平面上的集合的定义集合为设GwGGwGzzfw.)(,)(,)()(*的逆映射为映射也称的反函数它称为函数函数或多值上就确定了一个单值于是在zfwzfwwzG31根据反函数的定义,*,Gw)],([wfw当反函数为单值函数时,.)],([Gzzfz.*.)()(,)()()()(是一一对应的合与集也可称集合是一一对应的射映那末称函数都是单值的逆映射与它的反函数映射如果函数GGzfwwzzfw今后不再区别函数与映射.32解三、典型例题例1:2上的象平面下求下列平面点集在在映射wzw;4π,20)1(r线段,,iiewrez设,2,2r则,2π,404π,20映射为故线段r还是线段.xyouvo2zw33例1:2上的象平面下求下列平面点集在在映射wzw;4)2(22yx双曲线,,ivuwiyxz令ivu则,222xyiyx,22yxu解,4422uyx.轴的直线平行于vxyo2zwuvo22434例1:2上的象平面下求下列平面点集在在映射wzw解.20,4π0)3(r扇形域,,iiewrez设,2,2r则,40,2π0映射为故扇形域20,4π0r2zw仍是扇形域.35例2解.2,1的象求圆周对于映射zzzw,,ivuwiyxz令zzw1映射,22yxiyxiyxivu,22yxxxu于是,22yxyyv:2的参数方程为圆周zπ20,sin2cos2yx36π20,sin23cos25vu所以象的参数方程为:平面上的椭圆表示w.123252222vu第六节复变函数的极限和连续性一、函数的极限二、函数的连续性38一、函数的极限1.函数极限的定义:.)()(,)0(0)(,0,,0)(0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数zzzfAAzfzzAzzzzfw))((.)(lim00AzfAzfzzzz或记作注意:.0的方式是任意的定义中zz392.极限计算的定理定理一.),(lim,),(lim)(lim,,),,(),()(000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz的充要条件是那末设证,)(lim0Azfzz如果根据极限的定义,)()(000时当iyxiyx,)()(00ivuivu(1)必要性.40,)()(02020时或当yyxx,)()(00vviuu,,00vvuu.),(lim,),(lim000000vyxvuyxuyyxxyyxx故,),(lim,),(lim000000vyxvuyxuyyxxyyxx若,)()(02020时那么当yyxx(2)充分性.,2,200vvuu有41)()()(00vviuuAzf00vvuu,00时故当zz,)(Azf.)(lim0Azfzz所以[证毕]说明.),(),(,),(),()(的极限问题和函数转化为求两个二元实变的极限问题该定理将求复变函数yxvyxuyxivyxuzf42定理二).0()()(lim(3);)]()([lim(2);)]()([lim(1),)(lim,)(lim00000BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末设与实变函数的极限运算法则类似.43例1证(一).0)Re()(不存在时的极限当证明函数zzzzf,iyxz令,)(22yxxzf则,0),(,),(22yxvyxxyxu,趋于零时沿直线当kxyz2200lim),(limyxxyxukxyxkxyx220)(limkxxxx44)1(lim220kxxx,112k,值的变化而变化随k,),(lim00不存在所以yxuyyxx,0),(lim00yxvyyxx根据定理一可知,.)(lim0不存在zfz证(二)),sin(cosirz令rrzfcos)(则,cos45,arg趋于零时沿不同的射线当zz.)(趋于不同的值zf,0arg趋于零时沿正实轴例如zz,1)(zf,2πarg趋于零时沿z,0)(zf.)(lim0不存在故zfz46例2证.0)0()(限不存在时的极当证明函